Question

二次函數y=m(x-

1

m

)(x-4)的圖象與x軸交于點A、B（點B在點A的右側），與y軸交于點C．
（1）當m=-1時，求出二次函數圖象的頂點坐標；
（2）當△ABC滿足以下條件時，分別求出m的值：
①當△ABC的面積為12時；②若△ABC為直角三角形．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：（1）求出拋物線的解析式，配成頂點式即可解決問題．
（2）①求出A、B、C三點的坐標，借助面積公式即可解決問題．
②由題意判斷m＜0，拋物線開口向下，這是解決問題的關鍵性結論；借助三角形的有關性質求出OA的長，即可解決問題．

解答：解：（1）當m=-1時，
y=-x²+3x+4=-(x-1.5)2+

25

4

，
故該二次函數圖象的頂點坐標為（1.5，6.25）．
（2）∵當x=0時，y=4；當y=0時，x=

1

m

或4，
∴AB=|4-

1

m

|，OC=4；
①∵△ABC的面積為12，
∴

1

2

×AB×OC=12，
即

1

2

|4-

1

m

|×4=12，
解得：m=

1

10

或-

1

2

．
②由題意可得：當△ABC為直角三角形時，m＜0，
拋物線開口向下；
由（2）知：A（

1

m

，0）、B（4，0）、C（0，4）；
∵△ABC為直角三角形，
∴∠ACB=90°；而OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∴OA=OC=4，即-

1

m

=4，
解得m=-0.25．

點評：該題主要考查了拋物線與x軸的交點問題；牢固掌握拋物線的性質，靈活運用有關定理來分析、判斷是解決拋物線問題的關鍵；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．