Question

20．若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩個實根為x₁、x₂，則兩根與方程系數(shù)之間有如下關(guān)系：
x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$
根據(jù)上述材料計算：
已知x₁、x₂是方程x²+4x+2=0的兩個實數(shù)根，求下列代數(shù)式的值．
（1）$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$
（2）x₁²+x₂²            
（3）（x₁-1）（x₂-1）

Answer 1

分析 根據(jù)x₁、x₂是方程x²+4x+2=0的兩個實數(shù)根，求出x₁+x₂，x_1•x₂的值，再根據(jù)（1）$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，（2）x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂）；（3）（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1即可求出答案．

解答 解：∵x₁、x₂是方程x²+4x+2=0的兩個實數(shù)根，
∴x₁+x₂=-4，x_1•x₂=2，
∴（1）$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{-4}{2}$=-2；
（2）x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=16-4=12；
（3）（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=2-（-4）+1=7．

點評 此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．