Question

如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在BC，CD上，且BE=CF，M，N，P，Q分別是AB，AF，EF，BE的中點(diǎn)，判斷四邊形MNPQ的形狀，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：中點(diǎn)四邊形

專題：

分析：首先證明△ABE≌△BCF，利用全等的性質(zhì)證明AE=BF，AE⊥BF，即四邊形ABEF的對(duì)角線互相垂直且相等，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可證明四邊形MNPQ是正方形．

解答：解：四邊形MNPQ是正方形．理由如下：
如圖，連接AE、BF．
在△ABE和△BCF中，

AB=BC ∠ABE=∠BCF=90° BE=CF

，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF，∠BAE=∠CBF，
又∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠BEA+∠CBF=90°，
∴AE⊥BF．
∵M(jìn)，N分別是AB，AF的中點(diǎn)，
∵M(jìn)N為△ABF的中位線，
∴MN=

1

2

BF，MN∥BF，
同理可證PQ=

1

2

BF，PQ∥BF，
即MN=PQ，MN∥PQ，四邊形MNPQ為平行四邊形，
易證NP=

1

2

AE=

1

2

BF=MN，
∴?PQGH菱形，
∵AE⊥BF，
∴NP⊥MN，菱形MNPQ為正方形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了中點(diǎn)四邊形．關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)證明三角形全等，利用性質(zhì)證明AE與BF的相等與垂直關(guān)系．