Question

閱讀材料：一些含根號的式子可以寫成另一個含根號的式子的平方，如3+2

2

=（1+

2

）²，其思考過程如下：
設(shè)a+

2

b=（m+

2

n）²，（其中a、b、m、n均為正整數(shù)）則有
a+

2

b=m²+2

2

mn+2n² ∴a+m²+2n²，b=2mn
請你解決問題：
（1）當a、b、m、n均為正整數(shù)時，若a+

3

b=（m+

3

n）²，用含m、n的式子分別表示a、b得，a=

 

，b=

 

．
（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a、b、m、n填空

 

+

 

3

=（

 

+

 

3

）²．
（3）若a+6

5

=（m+

5

n）²且a、b、m、n均為正整數(shù)，求a的值．

Answer 1

考點：二次根式的混合運算

專題：閱讀型

分析：（1）利用完全平方公式得到（m+

3

n）²=m²+2

3

mn+3n² ，則a=m²+3n²，b=2mn；
（2）可設(shè)m=1，n=2，則（1+2

3

）²=13+2

3

；
（3）由于a+6

5

=（m+

5

n）²=m²+2

5

mn+5n²，則6=2mn，即mn=3，所以m=3，n=1或m=1，n=3，然后分別計算對應的a的值．

解答：解：（1）∵a+

3

b=（m+

3

n）²=m²+2

3

mn+3n² ，
∴a=m²+3n²，b=2mn；
故答案為m²+3n²，2mn；
（2）13+2

3

=（1+2

3

）²，
故答案為13，4，1，2；
（3）∵a+6

5

=（m+

5

n）²=m²+2

5

mn+5n²，
∴6=2mn，即mn=3，
而m、n為正整數(shù)，
∴m=3，n=1或m=1，n=3，
當m=3，n=1時，a=m²+5n²=14，
當m=1，n=3時，a=m²+5n²=46．

點評：本題考查了二次根式的計算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式．也考查了完全平方公式．