Question

19．等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸上且點(diǎn)A，點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為A（0，a），C（b，0），滿足a²+b²-4a-10b+29=0．
（1）求A、C的坐標(biāo)；
（2）求B的坐標(biāo)；
（3）若AB、BC與坐標(biāo)軸交于D、E，在AC上取一點(diǎn)F，使AF=AD，連BF，過(guò)E作EG⊥BF交x軸于G，探究CG、EA、EG的數(shù)最關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 （1）先配成兩個(gè)完全平方式的和等于0，從而求出a，b即可得出點(diǎn)A，C坐標(biāo)；
（2）由點(diǎn)A，C坐標(biāo)求出直線AC解析式，由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出點(diǎn)B坐標(biāo)；
（3）利用點(diǎn)的坐標(biāo)和互相垂直的直線的斜率互為負(fù)倒數(shù)，分別求出點(diǎn)F，E，G的坐標(biāo)，最后求出CG，CE，AE，即可找出關(guān)系式．

解答 解：（1）∵a²+b²-4a-10b+29=0．
∴（a-2）²+（b-5）²=0，
∴a=2，b=5，
∴A（0，2），C（5，0），
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB⊥AC，AB=AC，
由（1）知，A（0，2），C（5，0），
∴AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{29}$，
∴直線AC解析式為y=-$\frac{2}{5}$x+2，
∴直線AB解析式為y=$\frac{5}{2}$x+2，
∴設(shè)點(diǎn)B（m，$\frac{5}{2}$m+2），
∴AB=$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{5}{2}m+2-2）^{2}}$=$\sqrt{29}$，
∴m=2（舍）或m=-2，
∴B（-2，-3），
（3）由（2）知，直線AB解析式為y=$\frac{5}{2}$x+2，
∴D（-$\frac{4}{5}$，0），
∴AD²=$\frac{16}{25}$+4=$\frac{116}{25}$，
∵B（-2，-3），C（5，0），
∴直線BC解析式為y=$\frac{3}{7}$x-$\frac{15}{7}$，
∴E（0，-$\frac{15}{7}$），
由（2）知，直線AC解析式為y=-$\frac{2}{5}$x+2，∴
設(shè)F（n，-$\frac{2}{5}$n+2），
∴AF²=n²+（$\frac{2}{5}$n）²=$\frac{29}{25}$n²，
∵AD=AF，
∴$\frac{29}{25}$n²=$\frac{116}{25}$，
∴n=-2（舍）或n=2，
∴F（2，$\frac{6}{5}$），
∵B（-2，-3），
∴直線BF解析式為y=$\frac{21}{20}$x-$\frac{9}{10}$，
∵EG⊥BF，E（0．-$\frac{15}{7}$），
∴直線EG解析式為y=-$\frac{20}{21}$x-$\frac{15}{7}$，
∴G（-$\frac{9}{4}$，0），
∴CG=$\frac{29}{4}$，EG=$\frac{3×39}{28}$，
∵AE=$\frac{29}{7}$，
∴CG=EG+AE．

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形綜合題，主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法，平面坐標(biāo)系內(nèi)，兩點(diǎn)間的距離公式，解本題的關(guān)鍵是用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題．