Question

11．如圖Rt△ABC的外接圓⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的平分線交⊙O于D．
（1）AC=6cm，BC=8cm，求⊙O的半徑R和AD、BD的長(zhǎng)．
（2）若點(diǎn)C在⊙O移動(dòng)（但不與A、B重合），試探究$\frac{AC+BC}{CD}$的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值．若變化，說(shuō)明理由．（若I為△ABC內(nèi)心，IG⊥AB，試求$\frac{AB+2IG}{CD}$．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)勾股定理求出斜邊AB=10，由90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑得：AB是⊙O的直徑，所以可求得半徑的長(zhǎng)，再利用角平分線得圓周角相等：∠ACD=∠BCD，則△ADB是等腰直角三角形，由此可求得AD和BD的長(zhǎng)；
（2）如圖1，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，先證明△ACE和△BCF是等腰直角三角形，則AC=$\sqrt{2}$AE=$\sqrt{2}$EC，BC=$\sqrt{2}$BF=$\sqrt{2}$FC，再證明△AED≌△DFB，得DE=BF，代入所求的式子$\frac{AC+BC}{CD}$計(jì)算即可；
如圖2，先根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓的半徑公式得：IG=$\frac{AC+BC-AB}{2}$，變形后再把圖1的結(jié)論代入可求得結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，
∴AB是⊙O的直徑，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴⊙O的半徑R為5cm，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴AD=BD，
設(shè)AD=xcm，
由勾股定理得：AB²=AD²+BD²，
則2x²=10²，
x=±5$\sqrt{2}$，
∴AD=BD=5$\sqrt{2}$cm；
（2）如圖1，過(guò)A作AE⊥CD于E，過(guò)B作BF⊥CD于F，
∵∠ACD=∠BCD=45°，
∴△ACE和△BCF是等腰直角三角形，
∴AC=$\sqrt{2}$AE=$\sqrt{2}$EC，
BC=$\sqrt{2}$BF=$\sqrt{2}$FC，
∵∠ADB=90°，
∴∠ADC+∠BDC=90°，
∵∠AED=90°，
∴∠ADC+∠EAD=90°，
∴∠BDC=∠EAD，
∵AD=BD，∠AED=∠BFD=90°，
∴△AED≌△DFB，
∴DE=BF，
∴AE=EC=DF，
∴AC=$\sqrt{2}$CE，BC=$\sqrt{2}$DE，
∴$\frac{AC+BC}{CD}$=$\frac{\sqrt{2}CE+\sqrt{2}DE}{CD}$=$\sqrt{2}$；
∴當(dāng)點(diǎn)C在⊙O移動(dòng)（但不與A、B重合），$\frac{AC+BC}{CD}$的值不發(fā)生變化，等于$\sqrt{2}$；
如圖2，I為△ABC內(nèi)心，IG⊥AB，
∴IG是△ABC內(nèi)切圓的半徑，
則IG=$\frac{AC+BC-AB}{2}$，
AB+2IG=AC+BC，
由圖1得：AC+BC=$\sqrt{2}$CD，
∴$\frac{AB+2IG}{CD}$=$\frac{AC+BC}{CD}$=$\frac{\sqrt{2}CD}{CD}$=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角三角形的外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)，明確：①90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，②在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弦相等，③直角三角形內(nèi)切圓的半徑r=$\frac{a+b-c}{2}$（a、b分別是直角三角形的兩條直角邊，c是斜邊）；同時(shí)構(gòu)建全等三角形，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等及等腰直角三角形邊的倍數(shù)關(guān)系代入所求的線段的比中，得出結(jié)論．