Question

在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象與x軸交與點A（-1，0）B（4，0），且與y軸相交于C，在第一象限內(nèi)拋物線上是否存在D，使得∠ADB=45°？若存在，求出點D坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：易求得拋物線解析式，即可求得拋物線對稱軸，在對稱軸上取點O₁ （

3

2

，

5

2

），設(shè)D（x，-x²+3x+4），易得AO₁=

5 2

2

=DO₁，整理即可求得x的值，即可解題．

解答：解：∵y=-x²+bx+c的圖象與x軸交與點A（-1，0）B（4，0），
∴-1-b+c=0，-16+4b+c=0，
解得：b=3，c=4，
∴拋物線解析式為y=-x²+3x+4，
∴拋物線對稱軸為x=

3

2

，
在對稱軸上取點O₁ （

3

2

，

5

2

），
設(shè)D（x，-x²+3x+4），
∵AO₁=

5 2

2

=DO₁，
∴(x-

3

2

)2+(-x2+3x+4-

5

2

)2=(

5 2

2

)2，
整理得：x⁴-6x³+7x²+6x-8=0，
∴（x⁴+7x²-8）+（-6x³+6x）=0，
（x²-1）（x²+8）-6x（x²-1）=0，
∴（x+1）（x-1）（x-2）（x-4）=0，
∴x₁=-1，x₂=1，x₃=2，x₄=4，
∴當(dāng)x=1或2時，-x²+3x+4=6，
∴D₁ （1，6），D₂（2，6）．

點評：本題考查了二次函數(shù)解析式的求解，考查了一元二次方程的求解，本題中正確求得拋物線解析式是解題的關(guān)鍵．