Question

11．如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，點E是BC上一點，且滿足AB²=BE•BC，AE與BD相交于點F．
（1）求證：△ABF∽△CBD；
（2）求證：EF•CD=AF•AD．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到$\frac{AB}{BE}=\frac{BC}{AB}$，由角平分線的性質(zhì)得到∠ABD=∠DBC，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形角平分線定理得到$\frac{AF}{EF}=\frac{AB}{BE}$，$\frac{CD}{AD}=\frac{BC}{AB}$，由于$\frac{AB}{BE}=\frac{BC}{AB}$，等量代換得到$\frac{AF}{EF}=\frac{CD}{AD}$，于是得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵AB²=BE•BC，
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{BC}{AB}$，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴△ABF∽△CBD；

（2）∵BD平分∠ABC，
∴$\frac{AF}{EF}=\frac{AB}{BE}$，$\frac{CD}{AD}=\frac{BC}{AB}$，
∵$\frac{AB}{BE}=\frac{BC}{AB}$，
∴$\frac{AF}{EF}=\frac{CD}{AD}$，
∴EF•CD=AF•AD．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形角平分線定理，熟練掌握三角形角平分線定理是解題的關(guān)鍵．