Question

8．如圖所示，拋物線y₁=-ax²+（a-1）x+1經(jīng)過點(diǎn)P（-$\frac{1}{3}$，$\frac{10}{9}$），且與拋物線y₂=ax²-（a+1）x-1相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求a的值；
（2）求這兩條拋物線交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（3）記A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x_A，x_B，若在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)Q（x，0），且x_A≤x≤x_B，過Q作一條垂直于x軸的直線，與兩條拋物線分別交于C，D兩點(diǎn)，試問當(dāng)x為何值時(shí)，線段CD的長有最大值？其最大值為多少？

Answer 1

分析 （1）拋物線y₁=-ax²+（a-1）x+1經(jīng)過點(diǎn)P（-$\frac{1}{3}$，$\frac{10}{9}$），則把P點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式就可以求出a的值．
（2）求出a的值以后，兩個(gè)函數(shù)的解析式就可以求出，然后聯(lián)立方程，解方程即可求得交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．
（3）線段CD的長度可以用x表示出來，即y₂與y₁的差．CD的長度就可以表示為x的一個(gè)二次函數(shù)，求CD的最值，就是求函數(shù)的最值問題．

解答 解：（1）∵點(diǎn)P（-$\frac{1}{3}$，$\frac{10}{9}$）在拋物線y₁=-ax²-ax+1上，
∴-$\frac{1}{9}$a-$\frac{1}{3}$a+$\frac{1}{3}$+1=$\frac{10}{9}$，
解得a=$\frac{1}{2}$．

（2）∵a=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線y=-$\frac{1}{2}x$²-$\frac{1}{2}$x+1，y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-1，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{2}x+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1+\sqrt{3}}\\{{y}_{1}=-1-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=1-\sqrt{3}}\\{{y}_{2}=-1+\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)A（1-$\sqrt{3}$，-1+$\sqrt{3}$），B（1+$\sqrt{3}$，-1-$\sqrt{3}$）；

（3）∵a=$\frac{1}{2}$．
∴拋物線y₁開口向下，拋物線y₂開口向上．
根據(jù)題意，得CD=y₁-y₂=（-$\frac{1}{2}x$²-$\frac{1}{2}$x+1-$\frac{1}{2}x$²+$\frac{3}{2}$x+1）=-x²+x+2=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$．
∵x_A≤x≤x_B，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，CD有最大值$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)解析式與圖象的關(guān)系，在函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)一定滿足函數(shù)的解析式．求最值的問題解決的基本思路是轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值的問題．