Question

7．如圖，在△ABC中，點D為BC邊的中點，以點D為頂點的∠EDF的兩邊分別與邊AB，AC交于點E，F(xiàn)，且∠EDF與∠A互補．
（1）如圖1，若AB=AC，且∠A=90°，則線段DE與DF有何數(shù)量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論；
（2）如圖2，若AB=AC，那么（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；
（3）如圖3，若AB：AC=m：n，探索線段DE與DF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠DAB=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，AD⊥BC，再證明∠C=∠B=45°，∠ADE=∠FDC，AD=DC可以利用ASA定理證明△AED≌△CFD，進而得到DE=DF；
（2）DE=DF依然成立．如圖2，過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，連接AD，則∠EMD=∠FND=90°，由于AB=AC，點D為BC中點，根據(jù)三角形的性質(zhì)三線合一得到AD平分∠BAC，于是得到DM=DN，在四邊形AMDN中．，∠DMA=∠DNA=90°，得到∠MAN+∠MDN=180°，又由于∠EDF與∠MAN互補，證得∠MDN=∠EDF，推出△DEM≌△DFN（ASA），即可得到結(jié)論；
（3）結(jié)論DE：DF=n：m．如圖3，過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，連接AD同（2）可證∠1=∠2，通過△DEM∽△DFN，得到$\frac{DE}{DF}=\frac{DM}{DN}$．由于點E為AC的中點，得到S_△ABD=S_△ADC，列等積式即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）DF=DE，
理由：如圖1，連接AD，
∵Rt△ABC是等腰三角形，
∴∠C=∠B=45°，
∴D是斜邊BC的中點，
∴∠DAB=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°，AD⊥BC，
∴AD=DC，
∵∠EDF=90°，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADF+∠FDC=90°，
∴∠ADE=∠FDC，
在△ADE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠C}\\{AD=DC}\\{∠ADE=∠FDC}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFD（ASA）；
∴DE=DF；

（2）DE=DF依然成立．
如圖2，過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，連接AD，
則∠EMD=∠FND=90°，
∵AB=AC，點D為BC中點，
∴AD平分∠BAC，
∴DM=DN，
∵在四邊形AMDN中．，∠DMA=∠DNA=90°，
∴∠MAN+∠MDN=180°，
又∵∠EDF與∠MAN互補，
∴∠MDN=∠EDF，
∴∠1=∠2，在△DEM與△DFN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EMD=∠DNF}\\{DM=DN}\\{∠1=∠2}\end{array}\right.$，
∴△DEM≌△DFN（ASA），
∴DE=DF．

（3）結(jié)論DE：DF=n：m．
如圖3，過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，連接AD，
同（2）可證∠1=∠2，
又∵∠EMD=∠FND=90°，
∴△DEM∽△DFN，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{DM}{DN}$．
∵點D為BC邊的中點，
∴S_△ABD=S_△ADC，
∴$\frac{1}{2}•AB•DM=\frac{1}{2}•AC•DN$，
∴$\frac{DM}{DN}=\frac{AC}{AB}$，
又∵$\frac{AB}{AC}=\frac{m}{n}$，
∴$\frac{DM}{DN}=\frac{n}{m}$
∴$\frac{DE}{DF}$=$\frac{n}{m}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．