Question

13．如圖，在平面直角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點．
（1）點D的坐標為（0，2）；
（2）若E為邊OA上的一個動點，當△CDE的周長最小時，求點E的坐標．

Answer 1

分析 由于C、D是定點，則CD是定值，如果△CDE的周長最小，即DE+CE有最小值．為此，作點D關(guān)于x軸的對稱點D′，當點E在線段CD′上時，△CDE的周長最�。�

解答 解：（1）∵OB=4，D為邊OB的中點，
∴OD=2，
∴D（0，2），
故答案為：（0，2）；
（2）如圖，作點D關(guān)于x軸的對稱點D′，連接CD′與x軸交于點E，連接DE．
若在邊OA上任取點E′與點E不重合，連接CE′、DE′、D′E′
由DE′+CE′=D′E′+CE′＞CD′=D′E+CE=DE+CE，
可知△CDE的周長最小．
∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D為OB的中點，
∴BC=3，D′O=DO=2，D′B=6，
∵OE∥BC，
∴Rt△D′OE∽Rt△D′BC，有$\frac{OE}{BC}=\frac{D′O}{D′B}$，
∴OE=1，
∴點E的坐標為（1，0）．

點評 此題主要考查軸對稱--最短路線問題，解決此類問題，一般都是運用軸對稱的性質(zhì)，將求折線問題轉(zhuǎn)化為求線段問題，其說明最短的依據(jù)是三角形兩邊之和大于第三邊．