Question

對(duì)于拋物線y=x²+bx+c，給出以下陳述：
①它的對(duì)稱軸為x=2；
②它與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)為A、B；
③△APB的面積不小于27（P為拋物線的頂點(diǎn)）．
求①、②、③得以同時(shí)成立時(shí)，常數(shù)b、c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：①它的對(duì)稱軸為x=2，則由對(duì)稱軸公式得到b的值；
②它與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，則根的判別式△＞0；
③△APB的面積不小于27（P為拋物線的頂點(diǎn)），則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系、拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求得關(guān)于c的不等式，由此可以求得c的取值范圍．

解答：解：∵拋物線y=x²+bx+c=（x+

b

2

）²+

4c-b2

4

，拋物線y=x²+bx+c的對(duì)稱軸為x=2，
∴-

b

2

=2，則b=-4，
∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)是

4c-b2

4

=c-4，
又∵它與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，
∴△=b²-4ac=16-4c＞0，且AB=

b2-4c

=

16-4c

=2

4-c

解得 c＜

1

4

，①
又△APB的面積不小于27，
∴

1

2

×2

4-c

×|c-16|≥27，即

4-c

×|c-16|≥27②
由①②解得 c≤-5．
綜上所述，b的值是-4，c的取值范圍是c≤-5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、拋物線與x軸的交點(diǎn)．熟記拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式是解題的關(guān)鍵．