Question

D、E分別是不等邊三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的邊AB、AC的中點，O是△ABC所在平面上的動點，連接OB、OC，點G、F分別是OB、OC的中點，順次連接點D、G、F、E．
（1）如圖，當點O在△ABC的內(nèi)部時，求證：四邊形DGFE是平行四邊形；
（2）若四邊形DGFE是菱形，則OA與BC應滿足怎樣的數(shù)量關系？為什么？
（3）當OA與BC滿足

 

時，四邊形DGEF是一個矩形（直接填答案，不需證明．）

Answer 1

考點：中點四邊形

專題：

分析：（1）首先利用三角形中位線的性質(zhì)得出DE∥BC，DE=

1

2

BC，同理，GF∥BC，GF=

1

2

BC，即可得出DE∥GF，DE=GF即可得出四邊形DGFE是平行四邊形；
（2）利用（1）中所求，只要鄰邊再相等即可得出答案．
（3）利用（1）中所求，只要鄰邊相互垂直的平行四邊形即為矩形．

解答： （1）證明：∵D、E分別是邊AB、AC的中點．
∴DE∥BC，DE=

1

2

BC．
同理，GF∥BC，GF=

1

2

BC．
∴DE∥GF，DE=GF．
∴四邊形DEFG是平行四邊形．

（2）解：解法一：點O的位置滿足兩個要求：AO=BC，且點O不在射線CD、射線BE上．
∵由（1）得出四邊形DEFG是平行四邊形，
∴點O的位置滿足兩個要求：AO=BC，且點O不在射線CD、射線BE上時，
可得GD=

1

2

AO，GE=

1

2

BC，
∴DG=GE，
∴平行四邊形DEFG是菱形；
解法二：點O在以A為圓心，BC為半徑的一個圓上，但不包括射線CD、射線BE與⊙A的交點．
解法三：過點A作BC的平行線l，點O在以A為圓心，BC為半徑的一個圓上，但不包括l與⊙A的兩個交點．

（3）由（1）知，四邊形DEFG是平行四邊形．
當OA⊥BC時，DG⊥GF，
故平行四邊形DGFE是矩形．
故答案是：OA⊥BC．

點評：此題主要考查了中點四邊形的判定以及三角形的中位線的性質(zhì)和平行四邊形以及菱形的判定等知識，熟練掌握相關的定理是解題關鍵．