Question

如圖，⊙0₁和⊙O₂外切，AB是外公切線，延長(zhǎng)O₁O₂交AB的延長(zhǎng)線于C點(diǎn)，若∠C=30°，AB=2，求兩圓的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：相切兩圓的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：如圖，作輔助線；證明四邊形ABO₂D為矩形，得到AD=O₂B=μ，O₁D=λ-μ；O₂D∥AC，O₂D=AB=2；列出關(guān)于λ、μ的方程組，求出λ、μ即可解決問(wèn)題．

解答：解：如圖，連接O₁A、O₂B，過(guò)點(diǎn)O₂作O₂D⊥O₁A；
設(shè)⊙O₁、⊙O₂的半徑分別為λ、μ；
∵AB是外公切線，
∴∠DAB=∠O₂BA=90°，
∴四邊形ABO₂D為矩形，
∴AD=O₂B=μ，O₁D=λ-μ；O₂D∥AC，O₂D=AB=2；
∴∠DO₂O₁=∠C=30°；而⊙0₁和⊙O₂外切，
∴O₁O₂=λ+μ；
由直角三角形的性質(zhì)得：

λ-μ= 1 2 (λ+μ) (λ+μ)2=(λ-μ)2+22

，
解得：λ=

3

，μ=

3

3

，
即兩圓的半徑分別為

3

，

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了相切兩圓的性質(zhì)及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形，靈活運(yùn)用勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)來(lái)分析、判斷、解答．