Question

6．已知等腰三角形ABC中，AB=AC，三角形的外接圓半徑OB=5cm，圓心O到BC的距離為3cm，求AB的長．

Answer 1

分析 此題分情況考慮：當三角形的外心在三角形的內(nèi)部時，根據(jù)勾股定理求得BD的長，再根據(jù)勾股定理求得AB的長；當三角形的外心在三角形的外部時，根據(jù)勾股定理求得BD的長，再根據(jù)勾股定理求得AB的長．

解答 解：如圖1，當三角形的外心在三角形的內(nèi)部時，

連接AO并延長到BC于點D，
∵AB=AC，O為外心，
∴AD⊥BC，
在直角三角形BOD中，根據(jù)勾股定理，得BD=4，
在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理，得AB=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$（cm）；
當三角形的外心在三角形的外部時，如圖2，
在直角三角形BOD中，根據(jù)勾股定理，得BD=4，
在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理，得AB=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$（cm）．
即AB的長是4$\sqrt{5}$cm或2$\sqrt{5}$cm．

點評 本題考查了勾股定理的運用，能求出符合條件的所有情況時解此題的關鍵，注意：三角形的外心可能在三角形的外部，可能在三角形的內(nèi)部，也可能在三角形的一邊上，即直角三角形的外心在其斜邊的中點．