Question

5．已知，如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=8，AD=3，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是CD上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)PE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M，問(wèn)：當(dāng)CP的長(zhǎng)為3或$\sqrt{7}$時(shí)，點(diǎn)M恰好落在△DEP的邊上．

Answer 1

分析 分兩種情形討論即可①如圖1中，當(dāng)點(diǎn)M在DE上時(shí)，②如圖2中，當(dāng)點(diǎn)M在DP上時(shí)．

解答 解：①如圖1中，當(dāng)點(diǎn)M在DE上時(shí)，

∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，
∴AB∥CD，AB=CD=8，
∴∠BEP=∠EPD，
∵∠BEP=∠DEP，
∴∠DEP=∠DPE，
∴DE=DP，
在Rt△ADE中，∵AD=3，AE=4，
∴DP=DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴PC=CD-DP=8-5=3．

②如圖2中，當(dāng)點(diǎn)M在DP上時(shí)，

∵AB∥CD，
∴∠BEP=∠EPD，
∵∠EPD=∠EPB，
∴∠BEP=∠BPE，
∴EB=PB=4，
在Rt△PBC中，∵PB=4，BC=3，
∴PC=$\sqrt{P{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
綜上所述，PC的長(zhǎng)為3或$\sqrt{7}$．
故答案為3或$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是等腰三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中考常考題型．