Question

11．如圖，點E為矩形ABCD的邊CD上一點，將矩形ABCD沿AE折疊的一邊，使點D落在BC邊的點F處．若折痕$AE=5\sqrt{10}，tan∠EFC=\frac{4}{3}$，則DF的長為3$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 設CE=4k，則CF=3k，由矩形的性質和勾股定理得出EF=5k，∠BAF+∠AFB=90°，由折疊的性質得：∠AFE=∠ADC=90°，DE=EF=5k，AD=AF，AB=CD=9k，證出∠BAF=∠EFC，由三角函數(shù)得出BF=12k，由勾股定理得出AD=AF=15k，在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出k=1，得出CD=9，CF=3，再由勾股定理求出DF即可．

解答 解：∵tan∠EFC=$\frac{CE}{CF}$=$\frac{4}{3}$，
設CE=4k，則CF=3k，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠ADC=∠B=∠C=90°，
∴EF=$\sqrt{C{E}^{2}+C{F}^{2}}$=5k，∠BAF+∠AFB=90°，
由折疊的性質得：∠AFE=∠ADC=90°，DE=EF=5k，AD=AF，
∴AB=CD=9k，∠AFB+∠EFC=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
∴tan∠BAF=$\frac{BF}{AB}$=$\frac{4}{3}$，
∴BF=12k，
∴AD=AF=$\sqrt{A{B}^{2}+B{F}^{2}}$=15k，
在Rt△ADE中，AD²+DE²=AE²，AE=5$\sqrt{10}$，
∴（15k）²+（5k）²=（5$\sqrt{10}$）²，
解得：k=1，
∴CD=9，CF=3，
∴DF=$\sqrt{C{F}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{9}^{2}}$=3$\sqrt{10}$；
故答案為：3$\sqrt{10}$．

點評 本題考查了矩形的性質、翻折變換的性質、勾股定理、三角函數(shù)的運用；熟練掌握矩形的性質和翻折變換的性質，由勾股定理得出方程是解決問題的關鍵．