Question

1．如圖，MN是⊙O的直徑，MN=4，點(diǎn)A在⊙O上，∠AMN=30°，B為$\widehat{AN}$的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動點(diǎn)．
（1）利用尺規(guī)作圖，確定當(dāng)PA+PB最小時(shí)P點(diǎn)的位置（不寫作法，但要保留作圖痕跡）．
（2）求PA+PB的最小值．

Answer 1

分析 （1）作點(diǎn)A關(guān)于MN的對稱點(diǎn)A′，連接A′B，與MN的交點(diǎn)即為點(diǎn)P；
（2）由（1）可知，PA+PB的最小值即為A′B的長，連接OA′、OB、OA，先求∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°，再根據(jù)勾股定理即可得出答案．

解答 解：（1）如圖1所示，點(diǎn)P即為所求；


（2）由（1）可知，PA+PB的最小值即為A′B的長，連接OA′、OB、OA，

∵A′點(diǎn)為點(diǎn)A關(guān)直線MN的對稱點(diǎn)，∠AMN=30°，
∴∠AON=∠A′ON=2∠AMN=2×30°=60°，
又∵B為$\widehat{AN}$的中點(diǎn)，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{BN}$，
∴∠BON=∠AOB=$\frac{1}{2}$∠AON=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°，
又∵M(jìn)N=4，
∴OA′=OB=$\frac{1}{2}$MN=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴Rt△A′OB中，A′B=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，即PA+PB的最小值為2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查作圖-復(fù)雜作圖及軸對稱的最短路線問題，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)和圓周角定理、圓心角定理是解題的關(guān)鍵．