Question

12．某水果店在兩周內(nèi)，將標(biāo)價為10元/斤的某種水果，經(jīng)過兩次降價后的價格為8.1元/斤，并且兩次降價的百分率相同．
（1）求該種水果每次降價的百分率；
（2）從第一次降價的第1天算起，第x天（x為整數(shù)）的售價、銷量及儲存和損耗費(fèi)用的相關(guān)信息如表所示．已知該種水果的進(jìn)價為4.1元/斤，設(shè)銷售該水果第x（天）的利潤為y（元），求y與x（1≤x＜15）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出第幾天時銷售利潤最大？

時間x（天）	1≤x＜9	9≤x＜15	x≥15
售價（元/斤）	第1次降價后的價格	第2次降價后的價格
銷量（斤）	80-3x	120-x
儲存和損耗費(fèi)用（元）	40+3x	3x2-64x+400

（3）在（2）的條件下，若要使第15天的利潤比（2）中最大利潤最多少127.5元，則第15天在第14天的價格基礎(chǔ)上最多可降多少元？

Answer 1

分析 （1）設(shè)這個百分率是x，根據(jù)某商品原價為10元，由于各種原因連續(xù)兩次降價，降價后的價格為8.1元，可列方程求解；
（2）根據(jù)兩個取值先計(jì)算：當(dāng)1≤x＜9時和9≤x＜15時銷售單價，由利潤=（售價-進(jìn)價）×銷量-費(fèi)用列函數(shù)關(guān)系式，并根據(jù)增減性求最大值，作對比；
（3）設(shè)第15天在第14天的價格基礎(chǔ)上最多可降a元，根據(jù)第15天的利潤比（2）中最大利潤最多少127.5元，列不等式可得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)該種水果每次降價的百分率是x，
10（1-x）²=8.1，
x=10%或x=190%（舍去），
答：該種水果每次降價的百分率是10%；
（2）當(dāng)1≤x＜9時，第1次降價后的價格：10×（1-10%）=9，
∴y=（9-4.1）（80-3x）-（40+3x）=-17.7x+352，
∵-17.7＜0，
∴y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=1時，y有最大值，
y_大=-17.7×1+352=334.3（元），
當(dāng)9≤x＜15時，第2次降價后的價格：8.1元，
∴y=（8.1-4.1）（120-x）-（3x²-64x+400）=-3x²+60x+80=-3（x-10）²+380，
∵-3＜0，
∴當(dāng)9≤x≤10時，y隨x的增大而增大，
當(dāng)10＜x＜15時，y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=10時，y有最大值，
y_大=380（元），
綜上所述，y與x（1≤x＜15）之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=$\left\{\begin{array}{l}{-17.7x+352（1≤x＜9）}\\{-3{x}^{2}+60x+80（9≤x＜15）}\end{array}\right.$，
第10天時銷售利潤最大；
（3）設(shè)第15天在第14天的價格基礎(chǔ)上最多可降a元，
由題意得：380-127.5≤（4-a）（120-15）-（3×15²-64×15+400），
252.5≤105（4-a）-115，
a≤0.5，
答：第15天在第14天的價格基礎(chǔ)上最多可降0.5元．

點(diǎn)評 本題考查了一元二次方程的應(yīng)用及二次函數(shù)的有關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是正確的找到題目中的等量關(guān)系且利用其列出方程，注意第2問中x的取值，兩個取值中的最大值才是最大利潤．