Question

19．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，CA=4，矩形DEFC的頂點(diǎn)D、E、F都在△ABC的邊上．
（1）設(shè)DE=x，則AD=$\frac{4}{3}$x（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）求矩形DEFC的最大面積．

Answer 1

分析 （1）由DE∥BC，得到$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DE}{BC}$，由此即可解決問題．
（2）構(gòu)建關(guān)于x二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．

解答
解：（1）∵四邊形DEFC是矩形，
∴∠ADE=∠EDC=∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DE}{CB}$，
∴$\frac{AD}{4}$=$\frac{x}{3}$，
∴AD=$\frac{4}{3}$x．
故答案為$\frac{4}{3}$x．

（2）設(shè)四邊形DEFC的面積為y，
y=DE•DC=x（4-$\frac{4}{3}$x）=-$\frac{4}{3}$x²+4x=-$\frac{4}{3}$（x-$\frac{3}{2}$）²+3，
∵0≤x≤3，
∴當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，y有最大值，最大值為3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題，屬于中考�？碱}型．