Question

15．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD是AC邊上的高，點P是邊BC上的任意一點，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為E、F．
（1）求證：PE+PF=BD．
（2）當點P在直線BC上，上述結(jié)論還成立嗎？如果成立，直接寫出結(jié)論；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知，過P作PG⊥BD于G，可得矩形PGDF，所以PF=GD①，再由矩形PGDF得PG∥AC，又由AB=AC得∠ABC=∠C，所以∠BPG=∠ABC，再由∠PEB=∠BGP=90°，BP=PB，則△BPE≌△PBG，所以得PE=BG②，①+②得出PE+PF=BD；
（2）當點P在BC延長線上時，（1）中的結(jié)論不成立，但有PE-PF=BD，連接AP，則S_△ABP=S_△ABC+S_△ACP，根據(jù)三角形的面積公式得到$\frac{1}{2}$AB•PE=$\frac{1}{2}$AC•BD+$\frac{1}{2}$AC•PF即可得到PE-PF=BD．同理當D點在CB的延長線上時，則有DF-DE=BD，連接AP，則S_△ABP=S_△ABC+S_△ABP，根據(jù)三角形的面積公式得到$\frac{1}{2}$AC•PF=$\frac{1}{2}$AC•BD+$\frac{1}{2}$AB•PE，即可得到PF-PE=BD．

解答 （1）證明：如圖1，過P作PG⊥BD于G，
∵BD⊥AC，PF⊥AC，
∴PG∥DF，GD∥PF，
∴四邊形PGDF是平行四邊形，
又∵∠GDF=90°，
∴四邊形PGDF是矩形，
∴PF=GD，
∵四邊形PGDF是矩形，
∴PG∥DF，即PG∥AC，
∴∠BPG=∠C，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠BPG=∠ABC，
在△BPE與△PBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEB=∠BGP}\\{∠BPG=∠ABC}\\{BP=PB}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴△BPE≌△PBG（AAS）
∴PE=BG，
∴PE+PF=BG+GD
即PE+PF=BD；

（2）如圖2，當點P在BC延長線上時，（1）中的結(jié)論不成立，但有PE-PF=BD，
理由：連接AP，則S_△ABP=S_△ABC+S_△ACP，
即$\frac{1}{2}$AB•PE=$\frac{1}{2}$AC•BD+$\frac{1}{2}$AC•PF
∵AB=AC，
∴PE=BD+PF，
即PE-PF=BD．
同理如圖3，當D點在CB的延長線上時，則有DF-DE=BD，
理由：連接AP，則S_△ACP=S_△ABC+S_△ABP，
即$\frac{1}{2}$AC•PF=$\frac{1}{2}$AC•BD+$\frac{1}{2}$AB•PE，
∵AB=AC，
∴PF=BD+PE，
即PF-PE=BD．

點評 考查了等腰三角形的性質(zhì)；在解決一題多變的時候，基本思路是相同的；注意通過不同的方法計算同一個圖形的面積，來進行證明結(jié)論的方法，是非常獨特的，也是一種很好的方法，注意掌握應(yīng)用．