Question

2．如圖，已知拋物線y=ax²-2$\sqrt{3}$ax-9a與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，其中C（0，3），∠BAC的平分線AE交y軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D的直線l與射線AC，AB分別交于點(diǎn)M，N．
（1）直接寫出a的值、點(diǎn)A的坐標(biāo)及拋物線的對稱軸；
（2）點(diǎn)P為拋物線的對稱軸上一動點(diǎn)，若△PAD為等腰三角形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）證明：當(dāng)直線l繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時，$\frac{1}{AM}$+$\frac{1}{AN}$均為定值，并求出該定值．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），可知-9a=3，故此可求得a的值，然后令y=0得到關(guān)于x的方程，解關(guān)于x的方程可得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后利用拋物線的對稱性可確定出拋物線的對稱軸；
（2）利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得∠CAO=60°，依據(jù)AE為∠BAC的角平分線可求得∠DAO=30°，然后利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得OD=1，則可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，a）．依據(jù)兩點(diǎn)的距離公式可求得AD、AP、DP的長，然后分為AD=PA、AD=DP、AP=DP三種情況列方程求解即可；
（3）設(shè)直線MN的解析式為y=kx+1，接下來求得點(diǎn)M和點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，于是可得到AN的長，然后利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得AM的長，最后將AM和AN的長代入化簡即可．

解答 解：（1）∵C（0，3）．
∴-9a=3，解得：a=-$\frac{1}{3}$．
令y=0得：ax²-2 x-9a=0，
∵a≠0，
∴x²-2 x-9=0，解得：x=-$\sqrt{3}$或x=3$\sqrt{3}$．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-$\sqrt{3}$，0），B（3$\sqrt{3}$，0）．
∴拋物線的對稱軸為x=$\sqrt{3}$．
（2）∵OA=$\sqrt{3}$，OC=3，
∴tan∠CAO=$\sqrt{3}$，
∴∠CAO=60°．
∵AE為∠BAC的平分線，
∴∠DAO=30°．
∴DO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AO=1．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1）
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，a）．
依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知：AD²=4，AP²=12+a²，DP²=3+（a-1）²．
當(dāng)AD=PA時，4=12+a²，方程無解．
當(dāng)AD=DP時，4=3+（a-1）²，解得a=0或a=2（舍去），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，0）．
當(dāng)AP=DP時，12+a²=3+（a-1）²，解得a=-4．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，-4）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，0）或（$\sqrt{3}$，-4）．
（3）設(shè)直線AC的解析式為y=mx+3，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得：-$\sqrt{3}$m+3=0，解得：m=$\sqrt{3}$，
∴直線AC的解析式為y=$\sqrt{3}$x+3．
設(shè)直線MN的解析式為y=kx+1．
把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=-$\frac{1}{k}$，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{k}$，0）．
∴AN=-$\frac{1}{k}$+$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}k-1}{k}$．
將y=$\sqrt{3}$x+3與y=kx+1聯(lián)立解得：x=$\frac{2}{k-\sqrt{3}}$．
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為$\frac{2}{k-\sqrt{3}}$．
過點(diǎn)M作MG⊥x軸，垂足為G．則AG=$\frac{2}{k-\sqrt{3}}$+$\sqrt{3}$．

∵∠MAG=60°，∠AGM=90°，
∴AM=2AG=$\frac{4}{k-\sqrt{3}}$+2$\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}k-2}{k-\sqrt{3}}$．
∴$\frac{1}{AM}$+$\frac{1}{AN}$=$\frac{k-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}k-2}$+$\frac{k}{\sqrt{3}k-1}$=$\frac{k-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}k-2}$+$\frac{2k}{2\sqrt{3}k-2}$=$\frac{3k-\sqrt{3}}{2\sqrt{3k-2}}$=$\frac{\sqrt{3}（\sqrt{3}k-1）}{2（\sqrt{3}k-1）}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，分類討論是解答問題（2）的關(guān)鍵，求得點(diǎn)M的坐標(biāo)和點(diǎn)N的坐標(biāo)是解答問題（3）的關(guān)鍵．