Question

如圖，在四邊形ABCD中，M、N、P、Q分別是AD、AB、BC、CD的中點，且對角線AC⊥BD，AC：BD=4：3，AC+BD=28，則MQ：QP=

 

，四邊形MNPQ的面積是

 

．

Answer 1

考點：中點四邊形

專題：

分析：由三角形中位線定理來求MQ：QP的值；有一個角是直角的平行四邊形是矩形．利用中位線定理可得出四邊形EFGH矩形，根據(jù)矩形的面積公式解答即可．

解答：解：①∵AC：BD=4：3，AC+BD=28，
∴AC=16，BD=12．
如圖，∵M、Q分別是AD、CD的中點，
∴MQ是△ADC的中位線，
∴MQ=

1

2

AC=8．
同理，QP=

1

2

BD=6．
∴MQ：QP=8：6=4：3．
故填：4：3；
②∵AC：BD=4：3，AC+BD=28，
∴AC=16，BD=12．
∵點M、N分別為四邊形ABCD的邊AD、AB的中點，
∴MN∥BD．
同理，PQ∥BD，MQ∥AC，NP∥AC，且
∴MN∥PQ，MQ∥NP，
∴四邊形MNPQ是平行四邊形．
又∵AC⊥BD，MQ⊥MN，
∴平行四邊形MNPQ是矩形．
∴四邊形MNPQ的面積是：MQ•PQ=8×6=48，即四邊形MNPQ的面積是48．
故填：48．

點評：本題考查的是中點四邊形．解題時，利用了矩形的判定以及矩形的定理，矩形的判定定理有：
（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；
（2）有三個角是直角的四邊形是矩形；
（3）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形．