Question

7．如圖甲，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，⊙O的半徑為2$\sqrt{5}$個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)P為直線y=-x+8上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線PC、PD，切點(diǎn)分別為C、D，且PC⊥PD．

（1）試說(shuō)明四邊形OCPD的形狀（要有證明過(guò)程）；
（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若直線y=-x+8沿x軸向左平移得到一條新的直線y₁=-x+b，此直線將⊙O的圓周分得兩段弧長(zhǎng)之比為1：3，請(qǐng)直接寫(xiě)出b的值；
（4）若將⊙O沿x軸向右平移（圓心O始終保持在x軸上），試寫(xiě)出當(dāng)⊙O與直線y=-x+8有交點(diǎn)時(shí)圓心O的橫坐標(biāo)m的取值范圍．（直接寫(xiě)出答案）

Answer 1

分析 （1）連接OC、OD，如圖甲，根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥PC，PD⊥PD，加上\PC⊥PD，則可判斷四邊形OCPD為矩形，然后利用OC=OD可判斷四邊形OCPD為正方形；
（2）作PF⊥x軸于F，如圖甲，利用正方形的性質(zhì)得OP=$\sqrt{2}$OD=2$\sqrt{10}$，設(shè)P（t，-t+8），利用勾股定理得到t²+（-t+8）²=（2$\sqrt{10}$）²，然后解方程求出t即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）如圖乙，利用直線y₁=-x+b將⊙O的圓周分得兩段弧長(zhǎng)之比為1：3可得到直線y₁=kx+b與坐標(biāo)的交點(diǎn)A和點(diǎn)B為⊙O與坐標(biāo)的交點(diǎn)，然后討論：當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)B都在坐標(biāo)軸的正半軸上或當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)B都在坐標(biāo)軸的負(fù)半軸上時(shí)，易得b的值為±2$\sqrt{5}$；
（4）先確定A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)，再判斷△OAB為等腰直角三角形，則∠ABO=45°，然后討論：當(dāng)圓移動(dòng)到點(diǎn)O′時(shí)與直線AB相切，作O′M⊥AB，如圖丙，根據(jù)切線的性質(zhì)得O′M=2$\sqrt{5}$，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得BO′=$\sqrt{2}$O′B=2$\sqrt{10}$，則OO′=8-2$\sqrt{10}$，所以點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（8-2$\sqrt{10}$，0）；當(dāng)圓移動(dòng)到點(diǎn)O″時(shí)與直線AB相切，作O″N⊥AB，如圖丙，同理可得BO″=2$\sqrt{10}$，則OO′=8+2$\sqrt{10}$，所以點(diǎn)O″的坐標(biāo)為（8+2$\sqrt{10}$，0），于是根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得到⊙O與直線y=-x+8有交點(diǎn)時(shí)圓心O的橫坐標(biāo)m的取值范圍．

解答 解：（1）四邊形OCPD為正方形．理由如下：
連接OC、OD，如圖甲，
∵PC和PD為切線，
∴OC⊥PC，PD⊥PD，
而\PC⊥PD，
∴∠OCP=∠ODP=∠CPD=90°，
∴四邊形OCPD為矩形，
而OC=OD，
∴四邊形OCPD為正方形；
（2）作PF⊥x軸于F，如圖甲，
∵四邊形OCPD為正方形，
∴OP=$\sqrt{2}$OD=$\sqrt{2}$•2$\sqrt{5}$=2$\sqrt{10}$，
設(shè)P（t，-t+8），
∴t²+（-t+8）²=（2$\sqrt{10}$）²，解得t₁=2，t₂=6，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，6）或（6，2）；
（3）如圖乙，
∵直線y₁=-x+b將⊙O的圓周分得兩段弧長(zhǎng)之比為1：3，
即直線y₁=-x+b將⊙O的圓周分得的劣弧為圓周的$\frac{1}{4}$，
∵直線y₁=-x+b與坐標(biāo)軸的夾角為45°，
∴直線y₁=kx+b與坐標(biāo)的交點(diǎn)A和點(diǎn)B為⊙O與坐標(biāo)的交點(diǎn)，
當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)B都在坐標(biāo)軸的正半軸上時(shí)，b=2$\sqrt{5}$；當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)B都在坐標(biāo)軸的負(fù)半軸上時(shí)，b=-2$\sqrt{5}$，
即b的值為±2$\sqrt{5}$；
（4）當(dāng)x=0時(shí)，y=-x+8=8，則A（0，8），
當(dāng)y=0時(shí)，-x+8=0，解得x=8，則B（8，0），
∴OA=OB，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴∠ABO=45°，
當(dāng)圓移動(dòng)到點(diǎn)O′時(shí)與直線AB相切，作O′M⊥AB，如圖丙，則O′M=2$\sqrt{5}$，
∵∠MBO′=45°，
∴△O′BM為等腰直角三角形，
∴BO′=$\sqrt{2}$O′B=2$\sqrt{10}$，
∴OO′=8-2$\sqrt{10}$，
∴點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（8-2$\sqrt{10}$，0），
當(dāng)圓移動(dòng)到點(diǎn)O″時(shí)與直線AB相切，作O″N⊥AB，如圖丙，同理可得BO″=2$\sqrt{10}$，
∴OO′=8+2$\sqrt{10}$，
∴點(diǎn)O″的坐標(biāo)為（8+2$\sqrt{10}$，0），
∴當(dāng)⊙O與直線y=-x+8有交點(diǎn)時(shí)圓心O的橫坐標(biāo)m的取值范圍為8-2$\sqrt{10}$≤m≤8+2$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握正方形的判定、切線的性質(zhì)和圓心角、弧、弦的關(guān)系；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，理解一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．