Question

如果一條拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么以該拋物線的頂點(diǎn)和這兩個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”．

（1）“拋物線三角形”一定是 三角形；

（2）如圖，△OAB是拋物線的“拋物線三角形”，是否存在以原點(diǎn)O為對(duì)稱中心的矩形ABCD？若存在，求出過O、C、D三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；若不存在，說明理由；

（3）在（2）的條件下，若以點(diǎn)E為圓心，r為半徑的圓與線段AD只有一個(gè)公共點(diǎn)，求出r的取值范圍．

 

 

Answer 1

（1）等腰；（2）存在，；（3）或.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性和等腰三角形的判定可得結(jié)論.

（2）根據(jù)“拋物線三角形”求出A，B的坐標(biāo)，求出A，B關(guān)于原點(diǎn)O為對(duì)稱的點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求出過O、C、D三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式.

（3）點(diǎn)E為圓心，r為半徑的圓與線段AD只有一個(gè)公共點(diǎn)，則⊙E與AD相切或⊙E的半徑在AE和AD之間.

（1）等腰 .

（2）存在．

如圖，作△OCD與△OAB關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱，則四邊形ABCD為平行四邊形．

當(dāng)OA=OB時(shí)，平行四邊形ABCD為矩形 .

又∵AO=AB，∴△OAB為等邊三角形．

作AE⊥OB，垂足為E．

∴．∴(b﹥0)．∴.

∴．

∴ .

設(shè)過點(diǎn)O,C,D三點(diǎn)的拋物線，則

，解之，得.

∴所求拋物線的表達(dá)式為 .

（3）①⊙E與AD相切時(shí)， .

②⊙E過點(diǎn)D時(shí)，.

③⊙E過點(diǎn)A時(shí)， .

綜上所述，或.

考點(diǎn)：1.新定義；2.二次函數(shù)的性質(zhì)；3．等腰三角形的判定；4.關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)；5.待定系數(shù)法的應(yīng)用；6.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；7.直線與圓的位置關(guān)系；8.分類思想的應(yīng)用.