Question

13．△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，AB=$\sqrt{2}$，點D位于邊BC的中點上．點E在AB上，點F在AC上，∠EDF=45°，給出以下結(jié)論：
①當(dāng)BE=1時，S_△CDF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；②∠DFC=∠EDB；③CF•BE=1；④C_△AEF=$\sqrt{2}$；⑤S_△AEF+2S_△DEF=$\frac{1}{2}$；
正確的有（　�。�

• A． ①②③
• B． ①③④⑤
• C． ②③④
• D． ③④⑤

Answer 1

分析 ①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得BD的長度，∠B與∠C的大小，根據(jù)三角形的內(nèi)角和，可得∠BDE的度數(shù)，根據(jù)三個角的和是平角，可得∠FDC的度數(shù)，可得∠DFC的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的判定，可得CF的長，根據(jù)正弦函數(shù)，可得DC邊上的高，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；
②根據(jù)平角的定義得到∠EDB+∠FDC=135°，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠DFC+∠FDC=135°，從而證得結(jié)論；
③證得△BDE∽△CFD后得到$\frac{BD}{FC}=\frac{BE}{CD}$，從而轉(zhuǎn)化為比例式即可得到結(jié)論；
④根據(jù)勾股定理可得EF的長，根據(jù)三角形的周長，可得答案；
⑤根據(jù)三角形面積間的關(guān)系，可得答案．

解答 解：①由△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，AB=$\sqrt{2}$，得BC=2，點D位于邊BC的中點上，得BD=DC=BE=1，∠B=∠C=45°，∠BDE=67.5°，∠EDF=45°，∴∠FDC=∠DFC=67.5°，CF=CD=1，DC邊上的高是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，S_△CDF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故①正確；
②∵∠EDF=45°，
∴∠EDB+∠FDC=135°，
∵∠B=∠C=45°，
∴∠DFC+∠FDC=135°，
∴∠BDE=∠DFC，故②正確；
③∠B=∠C，∠BED=∠FDC，
∴△BDE∽△CFD，
∴$\frac{BD}{FC}=\frac{BE}{CD}$
∴CF•BE=BD•CD=1，①故③正確；
④AE=AE=$\sqrt{2}$-1，EF=$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$-1），C_△AEF=$\sqrt{2}$，故④正確；
⑤S_△AFE=$\frac{3}{2}-\sqrt{2}$，S_△BDE=S_△CDF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，S_△DEF=1-（$\frac{3}{2}-\sqrt{2}$）-$\sqrt{2}$=-$\frac{1}{2}$，S_△AEF+2S_△DEF=$\frac{3}{2}-\sqrt{2}$+2×（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}-\sqrt{2}$，故⑤錯誤．
故選：C．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用了三角形邊角間的關(guān)系，三角形的面積公式．