Question

如圖①，△ABC是一個(gè)等腰直角三角形紙板，點(diǎn)O為斜邊BC的中點(diǎn)，腰長為14cm．將另一個(gè)等腰直角三角形的紙板的一個(gè)頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，與直角邊AB、AC分別相交于D、E兩點(diǎn)．
（1）如圖②，當(dāng)另一個(gè)等腰直角三角形紙板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處時(shí)，連結(jié)AO；
①試說明△BOD≌△AOE．
②連結(jié)DE，若AD=6cm時(shí)，求DE的長度．
（2）如圖③，當(dāng)另一個(gè)等腰直角三角形紙板的銳角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處時(shí)，且AD=5cm時(shí)；試求DE的值．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）①易證∠AOE=∠BOD，OA=OB，即可求證△BOD≌△AOE；
②連接DE，根據(jù)△BOD≌△AOE可以求得AE的長，根據(jù)勾股定理可以求得DE的長，即可解題；
（2）連接DE，AO，在AB中找到F點(diǎn)使得BF=AE，易證△OBF≌△OAE，可得OE=OF，BF=AE，∠BOF=∠AOE，即可證明△DOF≌△DOE，即可求得BD=AE+DE，再根據(jù)AD²+AE²=DE²，即可求得DE的長，即可解題．

解答：（1）①證明：∵∠AOE+∠AOD=90°，∠AOD+∠BOD=90°，
∴∠AOE=∠BOD，
∵點(diǎn)O為等腰直角三角形ABC斜邊BC的中點(diǎn)，
∴OA=OB，
∴在△BOD和△AOE中，

∠B=∠OAE=45° BO=AO ∠BOD=∠AOE

，
∴△BOD≌△AOE，（ASA）；
②解：連接DE，

∵△BOD≌△AOE，
∴AE=BD=14-6=8，
∴DE=

AE2+AD2

=10；

（2）解：連接DE，AO，在AB中找到F點(diǎn)使得BF=AE，

∵O是等腰直角△ABC斜邊BC中點(diǎn)，
∴AO=BO，∠B=∠CAO=45°，
∵在△OBF和△OAE中，

OB=OA ∠B=∠EAO=45° BF=AE

，
∴△OBF≌△OAE，（SAS）
∴OE=OF，BF=AE，∠BOF=∠AOE，
∵∠AOF+∠BOF=90°
∴∠AOF+∠AOE=90°，
∵∠DOE=45°，
∴∠DOF=45°，
∵在△DOF和△DOE中，

OF=OE ∠DOE=∠DOF=45° OD=OD

，
∴△DOF≌△DOE，（SAS）
∴DF=DE，
∴BD=BF+DF=AE+DE，
∵AD=5cm，AB=14cm，
∴BD=9cm，
∴DE+AE=9cm，
∵RT△ADE中，AD²+AE²=DE²，
∴DE=

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9

．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了直角三角形中勾股定理的運(yùn)用，本題中求證△OBF≌△OAE和△DOF≌△DOE是解題的關(guān)鍵．