考點：質(zhì)數(shù)與合數(shù)
專題：
分析：采用反證法．假設(shè)存在一個十進(jìn)制的質(zhì)數(shù)
，使得b
2-4ac為平方數(shù)．分別得到f（x）=ax
2+bx+c=0①．已知條件意味著 p=f（10）=a×10
2+b×10+c=
是一個質(zhì)數(shù)方程①的兩個根x=
②，取x=10，得p=a（10-x
1）（10-x
2）③．將式兩邊同乘以4a得 4ap=（20a-2ax
1）（20a-2ax
2）④．結(jié)合式④，導(dǎo)出|20a-2ax
2|≤4a⑤．由式②易知x
2≤0．從而，式⑤不可能成立，矛盾．
解答：證明：采用反證法．
假設(shè)存在一個十進(jìn)制的質(zhì)數(shù)
，使得b
2-4ac為平方數(shù)．注意到求證結(jié)果的形式，可考慮（輔助的）二次方程
f（x）=ax
2+bx+c=0①．
已知條件意味著 p=f（10）=a×10
2+b×10+c=
是一個質(zhì)數(shù)．
由于b
2-4ac是完全平方數(shù)，
故方程①的兩個根x=
②
均為有理數(shù)．于是，
ax
2+bx+c=a（x-x
1）（x-x
2）．
取x=10，
得p=a（10-x
1）（10-x
2）③．
由式②可知2ax
1、2ax
2均是整數(shù)．
將式兩邊同乘以4a得 4ap=（20a-2ax
1）（20a-2ax
2）④．
因p是質(zhì)數(shù)，所以，式④右邊的兩個因子中必有一個被p整除，不妨設(shè)20a-2ax
1是p的倍數(shù)．
注意到20a-2ax
1≠0，
故|20a-2ax
1|≥p．
結(jié)合式④，導(dǎo)出|20a-2ax
2|≤4a⑤．
但由式②易知x
2≤0．
從而，式⑤不可能成立，矛盾．
點評：考查了質(zhì)數(shù)與合數(shù)，當(dāng)題目條件中出現(xiàn)形如b2-4ac一類平方與積的差的形式的式子時常利用判別式構(gòu)造方程．
名校課堂系列答案
如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A、B的坐標(biāo)分別為（2，0）、（3，-1），二次函數(shù)y=-x2的圖象為C1．
已知：如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點A（-1，0），B（3，0），與y軸交于點C．過點C作CD∥x軸，交拋物線的對稱軸于點D．
實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，以下各式中錯誤的是（ ）
已知，如圖，點C、D在⊙O上，直徑AB=6cm，弦AC、BD相交于點E．若CE=BC，則陰影部分面積為（ �。�
如圖，當(dāng)半徑為3m的轉(zhuǎn)輪轉(zhuǎn)過120°角時，傳送帶上的物體A平移的距離為（ �。﹎．
如圖，牧區(qū)內(nèi)有一家牧民，點A處有一個馬廄，點B處是他的家．l1是草地的邊沿，l2是一條筆直的河流．每天，牧民要從馬廄牽出馬來，先去草地上讓馬吃草，再到河邊飲馬，然后回到家B處．請在圖上畫出牧民行走的最短路線（保留作圖痕跡）．