Question

5．如果一個(gè)三角形有一邊上的中線與這邊的長(zhǎng)相等，那么稱(chēng)這個(gè)三角形為“和諧三角形”．
（1）請(qǐng)用直尺和圓規(guī)在圖1中畫(huà)一個(gè)以線段AB為一邊的“和諧三角形”；
（2）如圖2，在△ABC中，∠C=90°，AB=$\sqrt{7}$，BC=$\sqrt{3}$，請(qǐng)你判斷△ABC是否是“和諧三角形”？證明你的結(jié)論；
（3）如圖3，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)M，N從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，以相同速度分別沿折線AB-BC和AD-DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的路程為S，當(dāng)△AMN為“和諧三角形”時(shí)，求S的值．

Answer 1

分析 （1）取AB的中點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，以AB為半徑畫(huà)圓，在圓上任意取一點(diǎn)C（點(diǎn)E、F除外），構(gòu)建三角形ABC，可得符合條件的三角形；
（2）作中線BD，分別求BD和AC為2，可得結(jié)論；
（3）因?yàn)辄c(diǎn)M在AB上時(shí)，△AMN是等腰直角三角形，不可能是“和諧三角形”，
所以分以下兩種情況討論：
（Ⅰ）當(dāng)?shù)走匨N的中線AE=MN時(shí)，如圖3，根據(jù)AE=MN，列式得s的值；
（Ⅱ）當(dāng)腰AM與它的中線NG相等，即AM=GN=AN時(shí)，根據(jù)tan∠HMN=$\frac{HN}{MH}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$；tan∠AME=$\frac{AE}{ME}$=$\frac{s}{2-s}$，列式可得s的值．

解答 解：（1）如圖1，
①作線段AB的中點(diǎn)O，
②以點(diǎn)O為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，
③在圓O上取一點(diǎn)C（點(diǎn)E、F除外），連接AC、BC．
∴△ABC是所求作的三角形．

（2）如圖2，∠C=90°，AB=$\sqrt{7}$，BC=$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{7}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
取AC的中點(diǎn)D，連接BD，
∴CD=1，
在Rt△BCD中，
由勾股定理得：BD=$\sqrt{C{D}^{2}+B{C}^{2}}$=2，
∴中線BD=邊AC，
∴△ABC是“和諧三角形”；

（3）易知，點(diǎn)M在AB上時(shí)，△AMN是等腰直角三角形，不可能是“和諧三角形”，
當(dāng)M在BC上時(shí)，連接AC交MN于點(diǎn)E，
（Ⅰ）當(dāng)?shù)走匨N的中線AE=MN時(shí)，如圖3，
由題意得：AC=$\sqrt{2}$，MC=2-S，
∵動(dòng)點(diǎn)M，N從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，以相同速度運(yùn)動(dòng)，
∴AB+BM=DN+AD，
∴MC=CN，
∴△MCN是等腰直角三角形，
∴MN=$\sqrt{2}$MC=$\sqrt{2}$（2-s），CE=$\frac{1}{2}$MN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（2-S），
∵AE=MN，
∴$\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}（2-s）=\sqrt{2}（2-s）$，S=$\frac{4}{3}$；
（Ⅱ）當(dāng)腰AM與它的中線NG相等，即AM=GN=AN時(shí)，
作NH⊥AM于H，如圖4，
∵NG=NA，NH⊥AM，
∴GH=AH=$\frac{1}{2}$AG=$\frac{1}{4}$AM，
在Rt△NHA中，
NH=$\sqrt{A{N}^{2}-（\frac{1}{4}AM）^{2}}$=$\sqrt{A{M}^{2}-（\frac{1}{4}AM）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}AM$，
在Rt△NHM中，tan∠HMN=$\frac{HN}{MH}$=$\frac{\frac{\sqrt{15}}{4}AM}{\frac{3}{4}AM}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$；
在Rt△AME中，tan∠AME=$\frac{AE}{ME}$=$\frac{\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}（2-s）}{\frac{\sqrt{2}}{2}（2-s）}$=$\frac{s}{2-s}$，
則 $\frac{s}{2-s}=\frac{\sqrt{15}}{3}$；
s=5-$\sqrt{15}$，
綜上，S=$\frac{4}{3}$或5-$\sqrt{15}$時(shí)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、三角形的中線的定義、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問(wèn)題，屬于中考創(chuàng)新題目．