Question

2．如果設(shè)二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A（x₁，0），B（x₂，0）．則A、B兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為：$\begin{array}{l}AB=|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{{{（-\frac{a}）}^2}-\frac{4c}{a}}=\sqrt{\frac{{{b^2}-4ac}}{a^2}}=\frac{{\sqrt{{b^2}-4ac}}}{|a|}.\end{array}$
請(qǐng)你參考以上結(jié)論，解答下列問(wèn)題：
設(shè)二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A（x₁，0），B（x₂，0），拋物線的頂點(diǎn)為C，顯然△ABC為等腰三角形．
（1）當(dāng)△ABC為等腰直角三角形時(shí)，求b²-4ac的值；
（2）當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，直接寫(xiě)出b²-4ac的值；
（3）設(shè)拋物線y=x²+kx+1與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，頂點(diǎn)為C，且∠ACB=90°，試問(wèn)如何平移此拋物線，才能使∠ACB=60°？

Answer 1

分析 （1）由于拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以b²-4ac＞0；套用材料中的公式可求得線段AB的表達(dá)式，利用公式法可得到頂點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求得斜邊AB上的高（設(shè)為CD），若△ABC為等腰直角三角形，那么AB=2CD，可根據(jù)這個(gè)等量關(guān)系求出b²-4ac的值．
（2）方法同（1），只不過(guò)AB、CD的等量關(guān)系為：$\sqrt{3}$AB=2CD．
（3）若要改變∠ACB的大小，就必須向上或向下平移拋物線；首先根據(jù)（1）題的結(jié)論求出k的值，然后設(shè)出平移后的拋物線解析式，進(jìn)而套用（2）的結(jié)論求出平移的距離，由此確定平移方案．

解答 解：（1）當(dāng)△ABC為等腰直角三角形時(shí)，過(guò)C作CD⊥AB于D，則AB=2CD；
∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴△＞0，
∴|b²-4ac|=b²-4ac，
∵AB=$\frac{\sqrt{^{2}-4ac}}{|a|}$，
∵CD=$\frac{1}{2}$AB，
又∵CD=$\frac{\sqrt{^{2}-4ac}}{2|a|}$，a≠0，
∴$\sqrt{^{2}-4ac}$=$\frac{^{2}-4ac}{2}$，
即$\sqrt{^{2}-4ac}$=$\sqrt{\frac{（^{2}-4ac）^{2}}{4}}$，
∴b²-4ac=$\frac{（^{2}-4ac）^{2}}{4}$，
∵b²-4ac≠0，
∴b²-4ac=4．
（2）當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，b²-4ac=12．（解法同（1）．）
（3）∵∠ACB=90°，
∴b²-4ac=4，即k²-4=4，
∴k=±2$\sqrt{2}$；
因?yàn)橄蜃蠡蛳蛴移揭茣r(shí)∠ACB的度數(shù)不變，
所以只需將拋物線y=x²±2$\sqrt{2}$x+1向上或向下平移使∠ACB=60°，然后向左或向右平移任意個(gè)單位即可．
設(shè)向上或向下平移后的拋物線的解析式為：
y=x²±2$\sqrt{2}$x+1+m，
∵平移后∠ACB=60°，
∴b²-4ac=12，
∴m=-2，
∴拋物線y=x²+kx+1向下平移2個(gè)單位后，向左或向右平移任意個(gè)單位都能使∠ACB的度數(shù)由90°變?yōu)?0°．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，用公式法求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的方法以及直角三角形、等腰直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)，解決此題的關(guān)鍵是讀懂題意，弄清題目所給公式的含義．