Question

15．閱讀材料：
如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對于任意兩點(diǎn)A （x₁，y₁），B（x₂，y₂），由勾股定理可得：AB²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，我們把$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$叫做A、B兩點(diǎn)之間的距離，記作AB=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$
例題：在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P（x，0）．
①A（0，2），B （3，-2），則AB=5．；PA=$\sqrt{{x}^{2}+4}$．；
解：由定義有AB=$\sqrt{（0-3）^{2}+[2-（-2）]^{2}}=5$；PA=$\sqrt{（x-3）^{2}+（0-2）^{2}}=\sqrt{{x}^{2}+4}$．
②$\sqrt{（x-1）^{2}+4}$表示的幾何意義是點(diǎn)P（x，0）到點(diǎn)（1，2）的距
離；$\sqrt{{x}^{2}+1}+\sqrt{（x-2）^{2}+9}$表示的幾何意義是點(diǎn)P（x，0）分別到點(diǎn)（0，1）和點(diǎn)（2，3）的距離和．
解：因?yàn)?\sqrt{（x-1）^{2}+4}=\sqrt{（x-1）^{2}+（0-2）^{2}}$，所以$\sqrt{（x-1）^{2}+4}$表示的幾何意義是點(diǎn)P（x，0）到點(diǎn)（1，2）的距
離；同理可得，$\sqrt{{x}^{2}+1}+\sqrt{（x-2）^{2}+9}$表示的幾何意義是點(diǎn)P（x，0）分別到點(diǎn)（0，1）和點(diǎn)（2，3）的距離和．
根據(jù)以上閱讀材料，解決下列問題：
（1）如圖2，已知直線y=-2x+8與反比例函數(shù)y=$\frac{6}{x}$（x＞0）的圖象交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，
則點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（1，6），B（3，2），AB=2$\sqrt{5}$．
（2）在（1）的條件下，設(shè)點(diǎn)P（x，0），則$\sqrt{（x-{x}_{1}）^{2}+{y}_{1}^{2}}+\sqrt{（x-{x}_{2}）^{2}+{y}_{2}^{2}}$表示的幾何意義是點(diǎn)P（x，0）分別到點(diǎn)（1，6）和點(diǎn)（3，2）的距離和；試求$\sqrt{（x-{x}_{1}）^{2}+{y}_{1}^{2}}+\sqrt{（x-{x}_{2}）^{2+{y}_{2}^{2}}}$的最小值，以及取得最小值時點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由直線和反比例函數(shù)解析式組成方程組，解方程組求出A、B坐標(biāo)；根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式即可求出AB；
（2）根據(jù)題意容易得出表示的幾何意義；作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′，連接AB′交x軸于P（即為滿足題意的點(diǎn)），則B′坐標(biāo)為（3，-2），得出$\sqrt{（x-{x}_{1}）^{2}+{y}_{1}^{2}}+\sqrt{（x-{x}_{2}）^{2}+{y}_{2}^{2}}$的最小值=AB′，由兩點(diǎn)之間的距離公式求出AB′即可；用待定系數(shù)法求出直線AB′的解析式，再求出直線與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+8}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，
得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=6}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=2}\end{array}\right.$，
∴A（1，6），B（3，2），
∴AB=$\sqrt{（1-3）^{2}+（6-2）^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
故答案為1，6；3，2；2$\sqrt{5}$；
（2）∵$\sqrt{（x-{x}_{1}）^{2}+{y}_{1}^{2}}+\sqrt{（x-{x}_{2}）^{2}+{y}_{2}^{2}}$=$\sqrt{（x-1）^{2}+（0-6）^{2}}$+$\sqrt{（x-3）^{2}+（0-2）^{2}}$，
∴$\sqrt{（x-{x}_{1}）^{2}+{y}_{1}^{2}}+\sqrt{（x-{x}_{2}）^{2}+{y}_{2}^{2}}$表示的幾何意義是點(diǎn)P（x，0）分別到點(diǎn)（1，6）和點(diǎn)（3，2）的距離和；
故答案為：點(diǎn)P（x，0）分別到點(diǎn)（1，6）和點(diǎn)（3，2）的距離和；
作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′，連接AB′交x軸于P，如圖所示：
則B′坐標(biāo)為（3，-2），
∴$\sqrt{（x-{x}_{1}）^{2}+{y}_{1}^{2}}+\sqrt{（x-{x}_{2}）^{2}+{y}_{2}^{2}}$的最小值=AB′=$\sqrt{（1-3）^{2}+（6+2）^{2}}$=2$\sqrt{17}$；
設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b，
把A（1，6），B′（3，-2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=6}\\{3k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：k=-4，b=10，
∴直線 AB′的解析式為：y=-4x+10，
∵當(dāng)y=0時，x=$\frac{5}{2}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，0）．

點(diǎn)評 本題是反比例函數(shù)綜合題目，考查了直線與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、二元一次方程組的解法、兩點(diǎn)之間的距離公式、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識，本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（2）中，需要通過作輔助線求出一次函數(shù)的解析式才能得出結(jié)果．