Question

18．如圖，在平面直角坐標系中，頂點為（2，-1）的拋物線交y軸于A點，交x軸于B、C兩點（點B在點C的左側(cè)），已知A點坐標為（0，3），連接AB．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D，如果以點C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸l與⊙C有怎樣的位置關(guān)系，并給出證明；
（3）已知點P是拋物線上的一個動點，且位于A，C兩點之間，問：當(dāng)點P運動到什么位置時，△PAC的面積最大？并求出此時P點的坐標和△PAC的最大面積．

Answer 1

分析 （1）已知拋物線的頂點坐標，可用頂點式設(shè)拋物線的解析式，然后將A點坐標代入其中，即可求出此二次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)拋物線的解析式，易求得對稱軸l的解析式及B、C的坐標，分別求出直線AB、BD、CE的解析式，再求出CE的長，與到拋物線的對稱軸的距離相比較即可；
（3）過P作y軸的平行線，交AC于Q；易求得直線AC的解析式，可設(shè)出P點的坐標，進而可表示出P、Q的縱坐標，也就得出了PQ的長；然后根據(jù)三角形面積的計算方法，可得出關(guān)于△PAC的面積與P點橫坐標的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出△PAC的最大面積及對應(yīng)的P點坐標．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²-1
把A（0，3）代入得：3=4a-1
解得：a=1，
故 y=（x-2）²-1
=x²-4x+3；

（2）拋物線的對稱軸與⊙C相離
理由如下：
如圖1，過點C作CE⊥BD于E
令y=0，則x²-4x+3=0
解得：x₁=1，x₂=3
則B（1，0），C（3，0），A（0，3），
故AB=$\sqrt{10}$，
∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∴△AOB～△BEC
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{OB}{CE}$，
∴$\frac{\sqrt{10}}{2}$=$\frac{1}{EC}$，
∴CE=$\frac{1}{5}$$\sqrt{10}$，
∴BF=CE=1＞$\frac{1}{5}$$\sqrt{10}$，
∴拋物線的對稱軸與⊙C相離；

（3）設(shè)P（m，m²-4m+3），如圖2，過點P作作PQ∥y軸交AC于點Q，
設(shè)AC的解析式為：y=kx+b，
故$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
故AC的解析式為：y=-x+3，
則Q（m，-m+3），
則PQ=-m+3-（m²-4m+3）=-m²+3m，
S_△PAC=S_△AQP+S_△CQP
=$\frac{1}{2}$×3（-m²+3m），
=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m，
則m=-$\frac{2a}$=$\frac{9}{2}$÷3=$\frac{3}{2}$，
把m=$\frac{3}{2}$代入得：-$\frac{3}{2}$×$\frac{9}{4}$+$\frac{9}{2}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{27}{8}$，
故p（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{4}$），
則S_△PAC的最大值=$\frac{27}{8}$．

點評 此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、圖形面積的求法等知識，正確表示出S_△PAC=S_△AQP+S_△CQP是解題關(guān)鍵．