Question

20．如圖，AE平分∠BAC，交△ABC的外接圓于點(diǎn)E，D是AE上一點(diǎn)，且ED=EB，點(diǎn)D是否是△ABC的內(nèi)心？為什么？

Answer 1

分析 根據(jù)題意得到∠BAE=∠CAE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EBD=∠EDB，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和圓周角定理得到∠ABD=∠DBC，根據(jù)內(nèi)心的概念得到答案．

解答 解：點(diǎn)D是△ABC的內(nèi)心，
證明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∵ED=EB，∴∠EBD=∠EDB，
∵∠EBD=∠EBC+∠DBC，∠EDB=∠BAE+∠ABD，又∠EBC=∠EAC=∠ABE，
∴∠ABD=∠DBC，
∴BD是∠ABC的平分線，又AE平分∠BAC，
∴點(diǎn)D是△ABC的內(nèi)心．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心、三角形的外角的性質(zhì)以及圓周角定理，掌握三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)和同弧所對(duì)的圓周角相等是解題的關(guān)鍵．