Question

1．如圖，∠BAC=60°，O是∠BAC平分線上的一點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AB、AC上，若∠EOF=120°，AO=6．求AE+AF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 作OP⊥AB于P，OH⊥AC于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到OP=OH，根據(jù)三角形全等的判定定理證明△OEP≌△OFH，得到EP=FH，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出AP，計(jì)算即可．

解答 解：作OP⊥AB于P，OH⊥AC于H，
∵O是∠BAC平分線上的一點(diǎn)，OP⊥AB，OH⊥AC，
∴OP=OH，AP=AH，
∵∠BAC=60°，∠EOF=120°，
∴∠OEA+∠OFA=180°，又∠OFH+∠OFA=180°，
∴∠OEA=∠OFH，
在△OEP和△OFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OEP=∠OFH}\\{∠OPE=∠OHF}\\{OP=OH}\end{array}\right.$，
∴△OEP≌△OFH，
∴EP=FH，
∵∠BAC=60°，O是∠BAC平分線上的一點(diǎn)，
∴∠BAO=30°，
∴OP=$\frac{1}{2}$OA=3，
∴AP=$\sqrt{A{O}^{2}-O{P}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴AE+AF=AP+PE+AH-FH=6$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．