Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經(jīng)過點A（-1，0）和點B（3，0）．
（1）求拋物線的解析式，并寫出點D的坐標(biāo)；
（2）如圖1，直線x=2與x軸交于點N，與直線AD交于點G，點P是直線x=2上的一動點，當(dāng)點P到直線AD的距離等于點P到x軸的距離時，求點P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，直線y=-x+m經(jīng)過點A，交y軸于點C，在x軸上方的拋物線上是否存在點M，使得S_△CDA=2S_△ACM？若存在，求點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先確定拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為（0，3），然后利用交點式求拋物線解析式；再把解析式配成頂點式即可得到D點坐標(biāo)；
（2）過P作PH⊥AD于點H，如圖1，利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式為y=2x+2，再確定G（2，6），設(shè)P（2，t），則PN=PH=|t|，GP=6-t，用勾股定理計算出AG=$\sqrt{5}$，接著證明Rt△GPH∽Rt△GAN，利用相似比得到t的方程（6-t）：3$\sqrt{5}$=|t|：3，然后解方程求出t即可得到P點坐標(biāo)；
（3）先確定直線AC的解析式為y=-x-1，過點D作DE∥AC，交y軸于點E，如圖2，利用兩直線平行問題可求出直線DE的解析式為y=-x+5，則E（0，5），于是可確定EC的中點F的坐標(biāo)為（0，2），再過點F作AC的平行線交拋物線于M，如圖2，根據(jù)平行線之間的距離可判斷點M到直線AC的距離等于點D到AC的距離的一半，所以S_△CDA=2S_△ACM，接著確定直線FM的解析式為y=-x+2，然后解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$即可得到滿足條件的M點的坐標(biāo)．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時，y=ax²+bx+3=3，則拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為（0，3），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），
把（0，3）代入得a•1•（-3）=3，解得a=-1，
所以拋物線解析式為y=-（x+1）（x-3），即y=-x²+2x+3；
y=-（x-1）²+4，則D（1，4）；
（2）過P作PH⊥AD于點H，如圖1，
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+p，把A（-1，0），D（1，4）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{k+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
所以直線AD的解析式為y=2x+2，
當(dāng)x=2時，y=2x+2=6，則G（2，6），
設(shè)P（2，t），則PN=PH=|t|，GP=6-t，
在Rt△ANG中，AN=3，GN=6，
∴AG=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵∠PGH=∠AGN，
∴Rt△GPH∽Rt△GAN，
∴GP：AG=PH：AN，即（6-t）：3$\sqrt{5}$=|t|：3，
解得t₁=$\frac{3\sqrt{5}-3}{2}$，t₂=$\frac{-3\sqrt{5}-3}{2}$，
∴P點坐標(biāo)為（2，$\frac{3\sqrt{5}-3}{2}$）或（2，$\frac{-3\sqrt{5}-3}{2}$）；
（3）存在．
把A（-1，0）代入y=-x+m得1+m=0，解得m=1，
∵直線AC的解析式為y=-x-1，
過點D作DE∥AC，交y軸于點E，如圖2，
設(shè)直線DE的解析式為y=-x+n，
把D（1，4）代入得-1+n=4，解得n=5，
∴直線DE的解析式為y=-x+5，
當(dāng)x=0時，y=-x+5=5，則E（0，5），
∴EC的中點F的坐標(biāo)為（0，2），
過點F作AC的平行線交拋物線于M，如圖2，則點M到直線AC的距離等于點D到AC的距離的一半，
∴S_△CDA=2S_△ACM，
設(shè)直線FM的解析式為y=-x+q，
把F（0，2）代入得q=2，
∴直線FM的解析式為y=-x+2，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{13}}{2}}\\{y=\frac{1+\sqrt{13}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}}\\{y=\frac{1-\sqrt{13}}{2}}\end{array}\right.$，
∴滿足條件的M點的坐標(biāo)為（$\frac{3-\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，會求一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點坐標(biāo)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；會利用勾股定理和相似比計算線段的長．