Question

如圖，已知拋物線y=ax²+x+c（a≠0）與x軸交點A（-2，0），點B（6，0），與y軸交于點C．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）已知點D是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，求△BCD面積的最大值；
（3）已知點E（4，3），且直線AE交拋物線的對稱軸于點M，拋物線上有一動點P，x軸上有一動點Q，是否存在以A，M，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形？如果存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將點A（-2，0），B（6，0）代入拋物線解析式，可求出a、c的值，繼而得出拋物線的解析式；
（2）設(shè)出點D的坐標(biāo)為（m，n），過點D作DN⊥AB于點N，結(jié)合題意，用含m或n的式子表示出△BCD的面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出面積的最大值；
（3）分三種情況進(jìn)行討論：
①以AM為邊時，如圖1、圖2，如果MP∥AQ且MP=AQ，那么以A，M，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形．由P與M的縱坐標(biāo)相等，將M的縱坐標(biāo)代入拋物線中求出P的坐標(biāo)，然后根據(jù)M，P的橫坐標(biāo)求出MP的長，即AQ的長，然后根據(jù)A的坐標(biāo)即可求出Q的坐標(biāo)；
②以AM為邊時，如圖3、圖4，如果AM∥PQ且AM=PQ，那么以A，M，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形．根據(jù)平行四邊形的對稱性，得出M，P的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，因此可求出P的坐標(biāo)，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及A，M，P的坐標(biāo)即可求出Q的坐標(biāo)；
③以AM為對角線時，過M作x軸的平行線交拋物線與P₅、P₆，由①知，P₅（2-2

2

，2），P₆（2+2

2

，2），根據(jù)AM與PQ互相平分，得出AM的中點與PQ的中點重合，由中點坐標(biāo)公式及A（-2，0），M（2，2），求出AM的中點坐標(biāo)是（0，1），再利用中點坐標(biāo)公式即可求出Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）將A（-2，0），B（6，0）代入拋物線解析式可得：

4a-2+c=0 36a+6+c=0

，
解得：

a=- 1 4 c=3

，
拋物線的解析式為y=-

1

4

x²+x+3；

（2）設(shè)點D的坐標(biāo)為（m，n），則n=-

1

4

m²+m+3，
過點D作DN⊥AB于點N，則有：
S_△BCD=S_梯形ONDC+S_△BND-S_△BOC
=

1

2

（3+n）m+

1

2

（6-m）n-

1

2

×6×3
=

3

2

m+3n-9
=

3

2

m+3（-

1

4

m²+m+3）-9
=-

3

4

m²+

9

2

m
=-

3

4

（m-3）²+

27

4

，
∵-

3

4

＜0，
∴當(dāng)m=3時，△BCD的面積最大，最大值是

27

4

；

（3）存在．
設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，
∵A（-2，0），E（4，3），
∴

-2k+b=0 4k+b=3

，解得

k= 1 2 b=1

，
∴y=

1

2

x+1，
∵拋物線y=-

1

4

x²+x+3的對稱軸是x=

-1

2×(- 1 4 )

=2，
∴當(dāng)x=2時，y=

1

2

×2+1=2，
∴M（2，2）．
①如圖1、圖2，當(dāng)MP∥AQ且MP=AQ時，以A，M，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形．
∵M(jìn)P∥AQ，
∴P與M的縱坐標(biāo)相等，都是2．
將y=2代入y=-

1

4

x²+x+3，整理得-

1

4

x²+x+1=0，
解得x=2±2

2

，
∴P點坐標(biāo)為（2±2

2

，2），
∵M(jìn)（2，2），
∴MP=2

2

，
∴AQ=MP=2

2

．
當(dāng)Q在A右側(cè)時，如圖1，Q₁（2

2

-2，0），
當(dāng)Q在A左側(cè)時，如圖2，Q₂（-2

2

-2，0）；
②如圖3，當(dāng)AM∥PQ且AM=PQ時，以A，M，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形．
∵AQ與PM互相平分，
∴M，P的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，
∵M(jìn)（2，2），
∴P的縱坐標(biāo)為-2．
將y=-2代入y=-

1

4

x²+x+3，整理得-

1

4

x²+x+5=0，
解得x=2±2

6

∴P點坐標(biāo)為（2±2

6

，-2）．
當(dāng)P在y軸右側(cè)時，如圖3，P（2+2

6

，-2）．
∵A（-2，0），M（2，2），
∴將A先向右平移4個單位長度，再向上平移2個單位長度可得M，
∵AM∥PQ且AM=PQ，
∴將P先向右平移4個單位長度，再向上平移2個單位長度可得Q．
當(dāng)P在y軸右側(cè)時，如圖3，P（2+2

6

，-2），Q₃（6+2

6

，0）；
當(dāng)P在y軸左側(cè)時，如圖4，P（2-2

6

，-2），Q₄（6-2

6

，0）；
③如圖5，以AM為對角線時，過M作x軸的平行線交拋物線與P₅、P₆，
則這兩點的縱坐標(biāo)是2，由①知，P₅（2-2

2

，2），P₆（2+2

2

，2），
∵AM與PQ互相平分，
∴AM的中點與PQ的中點重合．
∵A（-2，0），M（2，2），
∴AM的中點坐標(biāo)是（0，1）．
∴Q₅（2

2

-2，0），Q₆（-2-2

2

，0）．
綜上所述，存在以A，M，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形，此時點Q的坐標(biāo)是：
Q₁（2

2

-2，0），Q₂（-2

2

-2，0），Q₃（6+2

6

，0），Q₄（6-2

6

，0），Q₅（2

2

-2，0），Q₆（-2-2

2

，0）．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，三角形的面積，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，有一定難度．利用分類討論、數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．