Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)y=kx-7與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)B，拋物線(xiàn)y=ax²+bx+14a經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，與x軸的正半軸交于另一點(diǎn)A，且OA：OC=2：7．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）點(diǎn)D為線(xiàn)段CB上一點(diǎn)，點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)拋物線(xiàn)上，PD=PB，當(dāng)tan∠PDB=2，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)Q（7，m）在第四象限內(nèi)，點(diǎn)R在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)拋物線(xiàn)上，若以點(diǎn)P、D、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)Q、R的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）由直線(xiàn)可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)可求得a的值，結(jié)合條件可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，代入可求得b的值，可求得拋物線(xiàn)解析式；
（2）可先求得B點(diǎn)坐標(biāo)，過(guò)P作PF⊥x軸于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F，作PE⊥BC，結(jié)合條件可找到PG與GF關(guān)系，再求得直線(xiàn)BC的解析式，設(shè)出F點(diǎn)的坐標(biāo)，可表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）分DP∥QR和DR∥QP，當(dāng)DP∥QR時(shí)，過(guò)P作PN∥BQ，過(guò)D作DN⊥BQ交PN于點(diǎn)N，過(guò)R作RM⊥BQ于點(diǎn)M．設(shè)PD交BQ于點(diǎn)T，DN交BM于點(diǎn)I，可求得RM=DN，MQ=PN，結(jié)合條件可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出R的坐標(biāo)，可求得橫坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)可求得R的坐標(biāo)，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求得Q的坐標(biāo)；同理可求得當(dāng)DR∥QP時(shí)的R、Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵直線(xiàn)y=kx-7與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C
∴C（0，-7），
∴OC=7，
∵拋物線(xiàn)y=ax²+bx+14a經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，
∴14a=-7，
∴a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

x²+bx-7，
∵OA：OC=2：7．
∴OA=2，
∴A（2，0）
∵拋物線(xiàn)y=-

1

2

x²+bx-7經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，
∴b=

9

2

∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-

1

2

x²+

9

2

x-7，
（2）如圖1，

∵拋物線(xiàn)y=-

1

2

x²+

9

2

x-7經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，
令y=0解得x=7或x=2（舍去），
∴B（7，0），
∴OB=7，
∴OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=45°
過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)G，交CB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，則PF∥y軸，
∴∠CFG=∠OCB=45°，
∴BF=

2

GF，
過(guò)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，
∵PD=PB，
∴∠PBD=∠PDB，
∴tan∠PBD=tan∠PDB=2，
∴PE=2BE，
∵EF=PE，
∴BF=BE，
∴PF=

2

PE=2

2

BE=2

2

BF=4GF，
∴PG=3GF，
∵直線(xiàn)y=kx-7過(guò)B點(diǎn)，
∴k=1，
∴y=x-7，
設(shè)F（m，m-7），則P（m，-3（m-7）），
∵點(diǎn)P在拋物線(xiàn)y=-

1

2

x²+

9

2

x-7上，
∴-3(m-7)=-

1

2

m2+

9

2

m-7，
解得m=7（舍去）或m=8，
∴P（8，-3）；
（3）如圖2，當(dāng)DP∥QR時(shí)，即四邊形DQRP是平行四邊形，

∵B（7，0），Q（7，m）
∴BQ∥y軸
過(guò)P作PN∥BQ，過(guò)D作DN⊥BQ交PN于點(diǎn)N，
過(guò)R作RM⊥BQ于點(diǎn)M．
設(shè)PD交BQ于點(diǎn)T，DN交BM于點(diǎn)I，
∴∠DTB=∠DPN，∠PTQ=∠RQM，
∵∠DTB=∠PTQ，
∴∠DPN=∠RQM，
∵四邊形DPRQ是平行四邊形，
∴DP=RQ，
在△RMQ和△DNP中，

∠RQM=∠DPN ∠RMQ=∠DNP RQ=DP

，
∴△RMQ≌△DNP（AAS），
∴RM=DN，MQ=PN，
由（2）可求F（8，1），GF=1，BD=2BE=2

2

BF=2

2

∵∠QBC=45°，∴BI=DI=2，
∴D（5，-2），
設(shè)R點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，
∵RM=DN，
∴t-7=8-5，
解得t=10，
∵點(diǎn)R在拋物線(xiàn)y=-

1

2

x²+

9

2

x-7 上，
∴當(dāng)t=10時(shí)，-

1

2

×102+

9

2

×10-7=-12，
∴R（10，-12），
∵M(jìn)Q=PN，
∴3-2=-12-n，
∴n=-11，
∴R（10，-12），Q（7，-11），
如圖3，當(dāng)DR∥QP時(shí)，即四邊形DQPR是平行四邊形

同理可求得R（6，2），Q（7，-7）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及全等三角形的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用．在（1）中求得A、C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中通過(guò)構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)求得PG和GF的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出Q、R的位置是解題的關(guān)鍵．本題綜合性較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多、難度較大，注重了知識(shí)與能力的考查．