Question

10．如圖為拋物線y₁=x²-3，且拋物線y₂是由拋物線y₁向右平移2個(gè)單位得到的．
（1）寫(xiě)出拋物線y₂的函數(shù)表達(dá)式，并在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出拋物線y₂．
（2）過(guò)點(diǎn)（0，a-3）（a為實(shí)數(shù)）作x軸的平行線，與拋物線y₁，y₂共有4個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)這4個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x₁，x₂，x₃，x₄．
①求a的取值范圍；
②若x₁＜x₂＜x₃＜x₄，試求x₄-x₃+x₂-x₁的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線平移的規(guī)律即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)函數(shù)解析式圖象可知，若過(guò)點(diǎn)（0，a-3）（a為實(shí)數(shù)）作x軸的平行線，與函數(shù)y₁、y₂的圖象共有4個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，則a-3＞-3且a≠1，再分別求出y₁、y₂分別等于a-3時(shí)x的值，分0＜a＜1和a＞1時(shí)x₁、x₂、x₃、x₄的值，從而代入x₄-x₃+x₂-x₁可知最值情況，

解答 解：（1）∵拋物線y₂是由拋物線y₁向右平移2個(gè)單位得到的，
∴y₂═（x-2）²-3，
如圖1所示；
（2）①∵y₁=x²-3，y₂=（x-2）²-3，
結(jié)合圖象，由題意，知：a-3＞-2，
∴a＞1，
∴a的取值范圍為：a＞0且a≠1；
②令y₁=a-3，則x²-3=a-3 解得x=±$\sqrt{a}$，
令y₂=a-3，則（x-2）²-3=a-3，解得x=2±$\sqrt{a}$，
因?yàn)閤₁＜x₂＜x₃＜x₄，顯然x₁=-$\sqrt{a}$，x₄=2+$\sqrt{a}$，
∵a≠1，則a的取值范圍是a＞0且a≠1，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，$\sqrt{a}$＜2-$\sqrt{a}$，∴x₂=$\sqrt{a}$，x₃=2-$\sqrt{a}$，
∴x₄-x₃+x₂-x₁=4$\sqrt{a}$＜4，
當(dāng)a＞1時(shí)，$\sqrt{a}$＞2-$\sqrt{a}$，
∴x₃=$\sqrt{a}$，x₂=2-$\sqrt{a}$，
∴x₄-x₃+x₂-x₁=4，
綜上所述，x₄-x₃+x₂-x₁的最大值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的綜合問(wèn)題，涉及待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，一元二次方程的解法和數(shù)形結(jié)合的思想，綜合程度較高，需要學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題．