Question

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，E是線段BC的中點，D在邊AC上，線段BD和AE交于點F．
（1）如圖1，AD=CD時，求

AE

AF

的值；
（2）如圖2，

AD

AC

=

1

4

時，求∠BFE的正切值．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,勾股定理

專題：常規(guī)題型

分析：（1）根據(jù)題意可以求得EF：AF的值，即可解題；
（2）作DG∥BC，EP⊥BD于P，可分別求得PF．PE的值，即可計算∠BFE的正切值．

解答：解：（1）∵AD=CD，
∴D是AC的中點，

∴DE是△ACB的中位線，

DE

AB

=

1

2

，
∴

EF

AF

=

DE

AB

=

1

2

，
∴

AE

AF

=

3

2

；
（2）作DG∥BC，EP⊥BD于P，

∵DG∥BC，
∴

DG

EC

=

AD

AC

=

1

4

，
∴

DG

BE

=

1

4

=

DF

BF

，
設AC=BC=4，則CD=3，
∴BD=

BC2+CD2

=5，
∴BF=

4

5

BD=4，
∵EP⊥BD，∴△BPE∽△BCD，
∴

BP

BE

=

BC

DB

=

4

5

，
∵BE=2，
∴BP=

8

5

，PE=

6

5

，
∴PF=BF-BP=4-

8

5

=

12

5

，
∴在RT△PEF中，tan∠BFE=

PE

PF

=

6 5

12 5

=

1

2

．

點評：本題考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形對應邊比值相等的性質．