Question

14．已知拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{20}$x²+bx+5．
（1）當(dāng)自變量x≥2時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減少，求b的取值范圍；
（2）如圖，若拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（2，5），與x軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于B．
①求拋物線的解析式；
②在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠PAB=∠ABC？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：對(duì)稱軸只需要小于或等于2即可，從而可求出b的范圍；
（2）①將A代入拋物線解析式即可求出b的值．
②由于∠PAB=∠ABC，且P在拋物線上，故需要對(duì)P的位置進(jìn)行分類討論即可．

解答 解：（1）拋物線的對(duì)稱軸為：x=10b，
由題意可知：x≥2時(shí)，函數(shù)值y 隨 x的增大而減少，
∴10b≤2，
∴b≤$\frac{1}{5}$；
（2）①將A（2，5）代入拋物線的解析式中，
∴5=-$\frac{1}{20}$×4+2b+5，
∴b=$\frac{1}{10}$，
∴拋物線的解析式為：y=-$\frac{1}{20}$x²+$\frac{1}{10}$x+5，
②由于∠PAB=∠ABC，
當(dāng)P在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，
此時(shí)∠PAB=∠ABC，
∴PA∥BC，
∴P的縱坐標(biāo)與A的縱坐標(biāo)相同，
∴P（0，5），
當(dāng)P在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，
連接AP并延長交x軸于E，
此時(shí)∠PAB=∠ABC
∴AE=BE，
過點(diǎn)A作AG⊥x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，
∵B（1，0），A（2，5），
∴AG=5，BG=1，
∴由勾股定理可知：AB=$\sqrt{26}$，
∵AE=BE，EF⊥AB，
∴BF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{26}}{2}$，
∵cos∠ABC=$\frac{BG}{AB}$=$\frac{\sqrt{26}}{26}$，
∴cos∠ABC=$\frac{BF}{BE}$=$\frac{\sqrt{26}}{26}$，
∴BE=13，
∴GE=BE-BG=12，
∴tan∠PEG=$\frac{AG}{GE}$=$\frac{5}{12}$，
設(shè)P（x，-$\frac{1}{20}$x²+$\frac{1}{10}$x+5），
∵E（14，0），
∴HE=14-x，PH=-$\frac{1}{20}$x²+$\frac{1}{10}$x+5，
∴tan∠PEG=$\frac{PH}{HE}$=$\frac{5}{12}$，
即$\frac{-\frac{1}{20}{x}^{2}+\frac{1}{10}x+5}{14-x}$=$\frac{5}{12}$，
解得：x=2（舍去）或x=$\frac{25}{3}$，
∴P（$\frac{25}{3}$，$\frac{85}{36}$）
綜上所述，P（0，5）或P（$\frac{25}{3}$，$\frac{85}{36}$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的綜合問題，涉及勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，綜合程度較高，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)．