Question

如圖，矩形ABCD中，AB=12cm，AD=16cm，動(dòng)點(diǎn)E、F分別從A點(diǎn)、C點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，均以2cm/s的速度分別沿AD向D點(diǎn)和沿CB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。

（1）經(jīng)過幾秒首次可使EF⊥AC？

（2）若EF⊥AC，在線段AC上，是否存在一點(diǎn)P，使？若存在，請(qǐng)說明P點(diǎn)的位置，并予以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

（1）；（2）AP=．證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）易證EF一定平分AC，當(dāng)EF⊥AC時(shí)，△AEM∽△ACD，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求得AE的長，從而求得時(shí)間t的值；

（2）當(dāng)EP⊥AD時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可以得到2EP•AE=EF•AP，根據(jù)△AEP∽△ADC，即可求得AP的長．

試題解析：（1）在直角△ACD中，AC=cm．

設(shè)經(jīng)過ts時(shí)EF⊥AC．

則AE=CF=2t，

∵矩形ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACF，

在△AME和△CMF中，

，

∴△AME≌△CMF（AAS）．

則AM=MC=AC=×20=10cm．

當(dāng)EF⊥AC時(shí)，△AEM∽△ACD，

∴，

即 ，

解得：AE= ．

則t=（s）；

（2）存在．

∵△AME≌△CMF，

∴ME=MF=EF，

當(dāng)EP⊥AD時(shí)，△AME∽△AEP，

，

即AE•EP=AP•ME=AP•EF，

即2EP•AE=EF•AP．

∵PE⊥AD，CD⊥AD，

∴EP∥CD，

∴△AEP∽△ADC，

∴，

即，

解得：AP=．

考點(diǎn)：相似形綜合題．