Question

16．如圖，直線PQ與⊙O相交于點A、B，BC是⊙O的直徑．
（1）請你按以下步驟尺規(guī)作圖：第一步，過點B作∠CBQ的角平分線交⊙O于點D；第二步，過D作PQ的垂線，垂足為E；
（2）求證：DE與⊙O相切；
（3）己知BC=10，BE=2，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）利用尺規(guī)作圖作出∠CBQ的角平分線和DE⊥PQ即可；
（2）連接OD，由OD=OB得出∠OBD=∠ODB，然后根據(jù)∠OBD=∠DBQ，得出∠ODB=∠DBQ，證得OD∥PQ，即可證得OD⊥DE，從而證得DE與⊙O相切；
（3）連接CD，根據(jù)圓周角定理證得∠BDC=90°，即可證得△BDC∽△BED，得出$\frac{BE}{BD}$=$\frac{BD}{BC}$，BD²=BE•BC=2×10=20，最后根據(jù)勾股定理即可求得DE的長．

解答 解：（1）如圖：第一步，過點B作∠CBQ的角平分線交⊙O于點D；第二步，過D作PQ的垂線，垂足為E；
（2）連接OD，
∴OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∵∠OBD=∠DBQ，
∴∠ODB=∠DBQ，
∴OD∥PQ，
∵DE⊥PQ，
∴OD⊥DE，
∴DE與⊙O相切；
（3）連接CD，
∵BC是直徑，
∴∠BDC=90°，
∵∠OBD=∠DBQ，∠BDC=∠DEB=90°，
∴△BDC∽△BED，
∴$\frac{BE}{BD}$=$\frac{BD}{BC}$，
∴BD²=BE•BC=2×10=20，
∴DE=$\sqrt{B{D}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{20-{2}^{2}}$=4．

點評 本題考查了尺規(guī)作圖，切線的判定，圓周角定理，三角形相似的判定和性質，勾股定理的應用等，作出輔助線構建等腰三角形和直角三角形是解題的關鍵．