Question

15．勾股定理被譽(yù)為“幾何明珠”，在數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程中占有舉足輕重的地位．如圖1是由邊長(zhǎng)相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理．圖2是由圖1放入長(zhǎng)方形內(nèi)得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，點(diǎn)D、E、F、G、H、I 都在長(zhǎng)方形KLMJ的邊上，則長(zhǎng)方形KLMJ的面積為（　　）

• A． 90
• B． 100
• C． 110
• D． 121

Answer 1

分析 延長(zhǎng)AB交KF于點(diǎn)O，延長(zhǎng)AC交GM于點(diǎn)P，可得四邊形AOLP是正方形，然后求出正方形的邊長(zhǎng)，再求出矩形KLMJ的長(zhǎng)與寬，然后根據(jù)矩形的面積公式列式計(jì)算即可得解．

解答 解：延長(zhǎng)AB交KF于點(diǎn)O，延長(zhǎng)AC交GM于點(diǎn)P，如圖所示：
則四邊形OALP是矩形．
∵∠CBF=90°，
∴∠ABC+∠OBF=90°，
又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠OBF=∠ACB，
在△OBF和△ACB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠BOF}&{\;}\\{ACB=∠OBF}&{\;}\\{BC=BF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OBF≌△ACB（AAS），
∴AC=OB，
同理：△ACB≌△PGC，
∴PC=AB，
∴OA=AP，
∴矩形AOLP是正方形，邊長(zhǎng)AO=AB+AC=3+4=7，
∴KL=3+7=10，LM=4+7=11，
∴長(zhǎng)方形KLMJ的面積為10×11=110．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理的證明、正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；通過(guò)作出輔助線證明三角形全等得出正方形是解題的關(guān)鍵．