Question

10．在平行四邊形ABCD中，AE垂直于對角線BD，垂足為E，連接CE．若三角形BCE是等邊三角形，CD=2$\sqrt{7}$，則BD=6．

Answer 1

分析 利用等邊三角形的性質(zhì)得，∠CBE=60°，BC=BE，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD=2$\sqrt{7}$，BC=AD，AD∥BC，則∠ADE=60°，接著在Rt△ADE中，設(shè)DE=x，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AE=$\sqrt{3}$x，AD=2x，則BC=BE=2x，然后根據(jù)勾股定理得到（$\sqrt{3}$x）²+（2x）²=（2$\sqrt{7}$）²，解得x=2，最后計算DE+BE即可．

解答 解：∵△BCE為等邊三角形，
∴∠CBE=60°，BC=BE，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB=CD=2$\sqrt{7}$，BC=AD，AD∥BC，
∴∠ADE=60°，
∵AE⊥BD，
在Rt△ADE中，設(shè)DE=x，則AE=$\sqrt{3}$x，AD=2x，
∴BC=BE=2x，
在Rt△ABE中，∵AE²+BE²=AB²，
∴（$\sqrt{3}$x）²+（2x）²=（2$\sqrt{7}$）²，解得x=2，
∴BD=x+2x=3x=6．
故答案為6．

點(diǎn)評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等；平行四邊形的對角相等；平行四邊形的對角線互相平分．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．