Question

18．△ABC中，AB=8，BC=6，AC=4，點(diǎn)M在CA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N在BA的延長(zhǎng)線上，若ABC與MAN相似，且MN=3，則CM的長(zhǎng)為6或8．

Answer 1

分析 分類討論：當(dāng)△ABC∽△ANM時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得$\frac{AM}{4}$=$\frac{3}{6}$，當(dāng)△ABC∽△AMN時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得$\frac{AM}{8}$=$\frac{3}{6}$，然后利用比例性質(zhì)分別求出AM，然后得到對(duì)應(yīng)的CM的長(zhǎng)．

解答 解：如圖，
當(dāng)△ABC∽△ANM時(shí)，$\frac{AM}{AC}$=$\frac{MN}{BC}$，即$\frac{AM}{4}$=$\frac{3}{6}$，解得AM=2，所以CM=AM+AC=2+4=6；
當(dāng)△ABC∽△AMN時(shí)，$\frac{AM}{AB}$=$\frac{MN}{BC}$，即$\frac{AM}{8}$=$\frac{3}{6}$，解得AM=4，所以CM=AM+AC=4+4=8，
綜上所述，CM的長(zhǎng)為6或8．
故答案為6或8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；相似三角形（多邊形）的周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方．