Question

已知，如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°∠A=30°，CD⊥AB交AB于點E,且CD=AC,DF∥BC,分別與AB、AC交于點G、F.

(1)求證：GE=GF

(2)若BD=1，求DF的長。

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）根據已知條件易證明Rt△AEC≌Rt△DFC，得CE=CF，則DE=AF，從而進一步證明Rt△AFG≌Rt△DEG，就可得到GE=GF；

（2）根據直角三角形的性質可以得到CE=AC，則CE=CD，即AB是CE的垂直平分線，則BC=BD=1．再根據直角三角形的性質進一步求得AB、BE的長，則AE=AB-BE，結合（1）中的全等三角形，知DF=AE．

（1）證明：∵DF∥BC，∠ACB=90°，

∴∠CFD=90°．

∵CD⊥AB，

∴∠AEC=90°．

在Rt△AEC和Rt△DFC中，∠AEC=∠CFD=90°，∠ACE=∠DCF，DC=AC，

∴Rt△AEC≌Rt△DFC．

∴CE=CF．

∴DE=AF．

而∠AGF=∠DGE，∠AFG=∠DEG=90°，

∴Rt△AFG≌Rt△DEG．

∴GF=GE．

（2）【解析】
∵CD⊥AB，∠A=30°，

∴CE=AC=CD．

∴CE=ED．

∴BC=BD=1．

又∵∠ECB+∠ACE=90°，∠A+∠ACE=90°，

∴∠ECB=∠A=30°，∠CEB=90°，

∴BE=BC=BD=．

在直角三角形ABC中，∠A=30°，

則AB=2BC=2．

則AE=AB-BE=．

∵Rt△AEC≌Rt△DFC，

∴DF=AE=．

考點：1.勾股定理；2.直角三角形全等的判定．