Question

12．設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x²+2px+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，一根大于1，另一根小于1，試求示數(shù)p的范圍．
兩位同學(xué)通過探索提出自己的部分想法如下：
甲：求p的范圍，只需要考慮判別式△＞0即可．
乙：設(shè)兩根為x₁，x₂，由題意得（x₂-1）（x₁-1）＜0，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可得p的范圍．
請(qǐng)你綜合參考甲乙兩人的想法，解決上述問題．

Answer 1

分析 先利用甲的方法，根據(jù)根的判別式△=4p²-4＞0可得出p的取值范圍，再設(shè)方程的兩根為x₁，x₂，利用根與系數(shù)的關(guān)系找出兩根之和與兩根之積，利用乙的方法將不等式進(jìn)行變形，代入數(shù)據(jù)即可得出p的取值范圍，綜合甲乙的結(jié)論即可得出結(jié)果．

解答 解：∵方程x²+2px+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=（2p）²-4×1×1=4p²-4＞0，
∴p＞1或p＜-1．
設(shè)方程的兩根為x₁，x₂，由題意可得：
（x₂-1）（x₁-1）＜0，
∵x₁+x₂=-2p，x₁•x₂=1，
∴（x₂-1）（x₁-1）=x₁•x₂-（x₁+x₂）+1=2+2p＜0，
解得：p＜-1．
∴p＜-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是分別利用甲乙的方法找出p的取值范圍．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系找出兩根之和與兩根之積是關(guān)鍵．