Question

5．【問(wèn)題提出】
我們知道對(duì)于任何一個(gè)封閉的平面圖形．是否存在既平分周長(zhǎng)，又平分面積的直線．
【問(wèn)題探究】
（1）請(qǐng)?jiān)趫D1的三個(gè)圖形中，分別做一條直線，使這條直線既平分周長(zhǎng)，又平分面積．

（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，是否存在過(guò)AB上的點(diǎn)M的直線，使它既平分△ABC的周長(zhǎng)，又平分△ABC的面積？若存在，求出AM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【問(wèn)題解決】
（3）如圖3，四邊形ABCD是某市將要籌建的高新技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)用地示意圖，其中AB=AD=9，BC=5，CD=13，∠A=90°．為了方便駐區(qū)單位，準(zhǔn)備修一條筆直的道路（路寬不計(jì)），使這條路所在的直線既平分四邊形ABCD的周長(zhǎng)，又平分四邊形ABCD的面積．并且要求路的一個(gè)出口在DC邊上，你認(rèn)為這樣的路是否存在？若存在，請(qǐng)求出路的另一個(gè)出口與點(diǎn)A的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)圓的特征，可得圓的直徑既平分圓的周長(zhǎng)，又平分圓的面積．
②根據(jù)平行四邊形的特征，可得平行四邊形的對(duì)角線既平分它的周長(zhǎng)，又平分它的面積．
③根據(jù)等腰三角形的特征，可得等腰三角形底邊上的高既平分它的周長(zhǎng)，又平分它的面積．
（2）存在過(guò)AB的點(diǎn)M的直線，使它既平分△ABC的周長(zhǎng)，又平分△ABC的面積；首先設(shè)AM=x，則BP=3-x，CQ=2-x，BQ=x+3，然后根據(jù)△BMQ的面積等于△ABC的面積的一半，求出AM的值是多少即可．
（3）不存在這樣的路EF，使這條路所在的直線既平分四邊形ABCD的周長(zhǎng)，又平分四邊形ABCD的面積．首先設(shè)AE=x，則BE=9-x，DF=36÷2-x-9=9-x，CF=13-（9-x）=x+4，然后根據(jù)四邊形AEFD的面積等于四邊形ABCD的面積的一半，列出方程，根據(jù)方程的解的情況判斷即可．

解答 解：（1）根據(jù)分析，可得
．

（2）如圖2，
，
存在過(guò)AB的點(diǎn)M的直線，使它既平分△ABC的周長(zhǎng)，又平分△ABC的面積，
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，
∴BC=$\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}$=5，
設(shè)AM=x，直線MQ既平分△ABC的周長(zhǎng)，又平分△ABC的面積，
則BM=3-x，CQ=（3+4+5）÷2-x-4=2-x，BQ=5-（2-x）=x+3，
∵${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AB•AC=\frac{1}{2}×3×4=6$，
∴S_△BMQ=6÷2=3，
∴$\frac{3-x}{3}×\frac{x+3}{5}×6=3$，
解得x=$\frac{\sqrt{6}}{2}$或-$\frac{\sqrt{6}}{2}$（舍棄），
∴存在過(guò)AB上的點(diǎn)M的直線，使它既平分△ABC的周長(zhǎng)，又平分△ABC的面積，此時(shí)AM=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

（3）如圖3，作CM⊥AD于點(diǎn)M，F(xiàn)N⊥AD于點(diǎn)N，
，
不存在這樣的路EF，使這條路所在的直線既平分四邊形ABCD的周長(zhǎng)，又平分四邊形ABCD的面積．
∵AB=AD=9，BC=5，CD=13，
∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)為：9+9+5+13=36；
設(shè)AM=a，則DM=9-a，CM=b，
則$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{+（b-9）}^{2}{=5}^{2}}\\{{（9-a）}^{2}{+b}^{2}{=13}^{2}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=12}\end{array}\right.$
∴S_{四邊形ABCD}=（9+12）×4÷2+12×（9-4）÷2=72
設(shè)AE=x，
則BE=9-x，DF=36÷2-x-9=9-x，CF=13-（9-x）=x+4，
∵CM⊥AD，F(xiàn)N⊥AD，
∴FN∥CM，
∴$\frac{FN}{CM}=\frac{FD}{CD}$=$\frac{ND}{MD}$，
∴$\frac{FN}{12}=\frac{9-x}{13}$=$\frac{ND}{9-3}=\frac{ND}{6}$，
解得FN=$\frac{12}{13}（9-x）$，ND=$\frac{6}{13}（9-x）$，
∴${S}_{四邊形AEFD}=[x+\frac{12}{13}（9-x）]$×$[9-\frac{6}{13}（9-x）]$÷2+$\frac{12}{13}（9-x）$×$\frac{6}{13}（9-x）$÷2=72÷2=36
整理，可得
52x²-390x+819=0，
△=390²-4×52×819=-18252＜0，
∴x無(wú)解，
∴不存在這樣的路EF，使這條路所在的直線既平分四邊形ABCD的周長(zhǎng)，又平分四邊形ABCD的面積．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖問(wèn)題，要熟練掌握，解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵是首先要理解題意，弄清問(wèn)題中對(duì)所作圖形的要求，然后結(jié)合對(duì)應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖．