Question

如圖，直線交坐標(biāo)軸于A（a，0），B（0，b）兩點(diǎn)，且a，b滿足a²+b²+2a-6b+10=0，AB平分∠OAC，OC交反比例函數(shù)y=-

9

x

（x＜0）于C點(diǎn)．
（1）求a，b的值；
（2）求△OAC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)配方，可得非負(fù)數(shù)的和為零，根據(jù)非負(fù)數(shù)的和為零，可得每個(gè)非負(fù)數(shù)為零，可得a、b得值；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得BD與BO的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得AD，根據(jù)勾股定理，可得關(guān)于a、b的方程，根據(jù)解方程，可得a、b的值，根據(jù)待定系數(shù)法，可得AD的解析式，根據(jù)雙曲線與AD的交點(diǎn)，可得C點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案．

解答：解：（1）a²+b²+2a-6b+10=0，配方，得
（a+1）²+（b-3）²=0．
a+1=0，b-3=0．
解得a=-1，b=3；
（2）作BD⊥AC于D，作DE⊥y軸于E點(diǎn)，DF⊥x軸于F點(diǎn)，作CG⊥x軸與G點(diǎn)．，
設(shè)D（a，b），
由AB平分∠OAC，得
BD=BO=3，
在△DAB和△OAB中，

DB=BO AB=AB

，
△DAB≌△OAB（HL），
∴AD=AO=1．
由勾股定理，得

a2+(b-3)2=9① (a+1)2+b2=1②

，
②-①得2a+6b=0．化簡，得
a=-3b③．
把a(bǔ)=-3b代入①，得10b²-6b=0，解得b=

3

5

，b=0（不符合題意要舍去），
把b=

3

5

代入③，得a=-

9

5

，D（-

9

5

，

3

5

），
設(shè)AD的函數(shù)解析式為y=kx+b，把A、D點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得

- 9 5 k+b= 3 5 -k+b=0

，解得

k=- 3 4 b=- 3 4

．
AD的函數(shù)解析式為y=-

3

4

x-

3

4

，
聯(lián)立直線AD、反比例函數(shù)，得

y=- 3 4 x- 3 4 y=- 9 x

，
4y²+3y-27=0
y₁=

9

4

，y₂=-3（不符合題意要舍去），
S_△OAC=

1

2

AC•CG=

1

2

×|-1|×

9

4

=

9

8

．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題，（1）利用了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，（2）利用了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，函數(shù)圖象交點(diǎn)與方程組的關(guān)系，三角形的面積公式．