Question

20．如圖，工人師傅要做一張由3塊完全相同的平行四邊形木板和1塊三角板木板拼成的六邊形桌面ABCDEF，量得AB=90cm，BC=30cm
（1）試幫工人師傅確定平行四邊形木板各內(nèi)角的度數(shù)、三角形木板各內(nèi)角的度數(shù)及邊長；
（2）求六邊形桌面ABCDEF的面積（結(jié)果精確到0.1m²）
（參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{3}$≈1.73，可使用科學(xué)計算器）

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)就可以得出∠QPR=∠BAP．∠PQR=∠QCP，∠PRQ=∠REF．由全等形的性質(zhì)就可以得出∠BAP=∠QCD=∠REF，CQ=BC，進(jìn)而得出△PQR是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論；
（2）如圖，過點P作PM⊥QR于M，過點Q作QN⊥CD于點N，由三角函數(shù)值就可以求出三角形的面積和一個平行四邊形的面積，進(jìn)而求出結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCP是平行四邊形，
∴AB∥CP，CP=AB=90，BC=AP=30°，
∴∠QPR=∠BAP．
同理：∠PQR=∠QCP，∠PRQ=∠REF．
∵平行四邊形ABCP≌平行四邊形CDEQ≌平行四邊形EFRQ，
∴∠BAP=∠QCD=∠REF，CQ=BC=30，
∴∠QPR=∠PQR=∠PRQ，
∴△PQR是等邊三角形，
∴∠QPR=∠PQR=∠PRQ=60°，PR=QR=PQ=CP-CQ=90-30=60，
∴∠BAP=∠QPR=60°，
∴∠APC=180°-∠QPR=120°，
∴平行四邊形木板各內(nèi)角的度數(shù)為60°、120°、60°、120°；三角形木板各內(nèi)角的度數(shù)都為60°，邊長都為60cm；
（2）如圖，過點P作PM⊥QR于M，過點Q作QN⊥CD于點N．
∵PQ=60，∠PQR=60°，
∴PM=PQ•sin60°=60×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=30$\sqrt{3}$．
同理：QN=15$\sqrt{3}$．
∴S_△PQR=$\frac{1}{2}$QR•PM=$\frac{1}{2}×60×30\sqrt{3}$=900$\sqrt{3}$，
S_{平行四邊形CDEQ}=CD•QN=90×15$\sqrt{3}$=1350$\sqrt{3}$，
∴六邊形桌面ABCDEF的面積為：3×1350$\sqrt{3}$+90$\sqrt{3}$=4140$\sqrt{3}$cm²≈0.7m²．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)的運用，等邊三角形的判定及性質(zhì)的運用，全等形的性質(zhì)的運用，平行四邊形的面積公式的運用，三角形的面積公式的運用，解答時運用全等形的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．